Системы счисления.
Число – понятие математическое. Оно возникло в связи с потребностями счета и измерения. Подсчитать для человека значило определить количество каких-либо предметов материального мира, окружающих и интересующих его. С изменением интересов росли определяемые количества таких предметов и задача счета усложнялась.
Исторически первым методом счета был счет «на пальцах». При таком методе счета используется только один знак – палочка. Каждое последующее число получается из предыдущего добавлением новой палочки. Количество палочек (их сумма) равна самому числу. Такая система счета получила название унарной. Благодаря унарной системе счета появилось понятие целого числа и стало принято определять значение целого числа количеством содержащихся в нем единиц. Именно с унарной системы начинается обучение детей счету (можно вспомнить «счетные палочки»).
Однако, унарная система счета громоздка, особенно при рассмотрении больших количеств. Чем больше предметов, подлежащих пересчету, тем больше палочек приходится для этого пересчета использовать.
Вторая сторона процесса счета – фиксация полученного результата. Число надо было назвать и записать. С точки зрения практики для появления какого-либо числа требуется, чтобы возникла необходимость подсчета соответствующего количества предметов. Это определяло и ограничивало величину чисел, которые нужно было уметь называть и записывать.
В III веке до нашей эры Архимед решил подсчитать число песчинок в «шаре неподвижных звезд», радиус которого при современной записи был бы равен 15·1012 км. Приводить его рассуждения нет никакой необходимости. Стоит сказать об итоге его работы. Определенное им количество оказалось никому не нужно, но решая эту задачу, он сумел показать:
- что для любого количества предметов, как бы велико оно ни было, можно найти (назвать и записать) соответствующее ему число;
- что для любого числа можно указать место в ряду уже известных чисел;
- что можно построить числа еще большие и назвать все эти числа.
Таким образом, он построил научную систему счисления.
В современном понимании система счисления – это совокупность знаков (со своими названиями) и правил, по которым с помощью этих знаков записываются числа.
Определение не является единственным. Формулировку можно изменять, если при этом остается неизменной суть. Например, «Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр ».
Современная система счисления появилась не сразу. Ее появлению предшествовали многочисленные системы, некоторые из которых забыты, а некоторые используются, но весьма ограниченно.
До наших дней дошла римская система счисления. В ней любая цифра независимо от места ее в записываемом числе всегда обозначает одно и то же количество.
| I | V | X | L | C | D | M |
Запись чисел в римской системе производится по перечисленным ниже правилам:
- если цифра меньшего значения стоит справа от цифры большего значения, то их значение суммируется;
- если цифра меньшего значения стоит слева от цифры большего значения, то меньшее значение вычитается из большего
- цифры I, X, C, M могут следовать подряд не более трех раз каждая;
- цифры V, L, D могут использоваться в записи числа не более одного раза каждая.
Система громоздка, вычисления в ней выполнять трудно. Сейчас она используется ограниченно (в основном для нужд хронологии). Римская система представляет так называемые непозиционные системы счисления.
Непозиционными системами счисления называют такие системы счисления, в которых вес цифры (количество, которое она обозначает) не зависит от места занимаемого цифрой в числе.
Почти четыре тысячи лет назад в древнем Вавилоне появилась своя система счисления. Позже, в Индии, она приняла форму, заимствованную арабами и, наконец, в VIII – IX веках нашей эры была перенята европейцами. Эту систему принято называть арабской и главное ее отличие от римской системы состоит в том, что она является позиционной.
Позиционные системы счисления – это такие системы счисления, в которых вес цифры зависит от места цифры в числе.
К примеру, в числе 272,12 цифра 2 встречается трижды, однако значение этих цифр различно.
Наиболее распространенной и привычной является система счисления, в которой для записи используется 10 цифр.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Приведенное в качестве примера число 272,12 представляет собой краткую запись многочлена
272,12=2·102+7·101+2·100+1·10–1+2·10–2
Место, которое цифра занимает в числе, называют разрядом. Разрядам принято присваивать номера. Номер разряда равен показателю степени, в которую в приведенном примере возводится число 10. Разряд с большим номером принято называть старшим, разряд с меньшим номером – младшим. Номера разрядов дробной части числа записываются отрицательными числами.
Число 10 следует за числом 9 и, чтобы его получить, надо к числу 9 добавить еще одну единицу. В принятой системе нет специальной цифры для записи такого числа, но есть правила, позволяющие записать это число с помощью имеющихся цифр. При его записи появляется единица старшего разряда, а в младшем записывается 0. В данной системе счисления число 10 является ее основанием. Часть разрядов в этой системе имеют свои названия: разряд единиц, десятков, сотен и т.д.
Основанием системы счисления называют минимальное число, при записи которого появляется цифра в 1-м разряде.
Основанием определяется название системы счисления. Поэтому рассматриваемая система называют десятичной позиционной системой счисления.
Все позиционные системы сходны по правилам записи чисел.
Выбор в пользу той или иной системы счисления – выбор исторический. Принципиально основанием системы счисления может являться любое натуральное число.
Вернемся к понятию «число» и сделаем несколько некоторых общих замечаний:
- любое число имеет значение (обозначает определенное количество);
- любое число имеет форму представления (записывается по определенным правилам).
Значение числа задает его отношение к значениям других чисел (больше, меньше, равно) и, следовательно, порядок его расположения в ряду чисел (на числовой оси).
Форма представления определяет порядок записи чисел с помощью предназначенных для этого знаков.
При этом значение числа является инвариантом, т.е. не зависит от способа представления. Это означает, что число с одним и тем же значением может быть записано по-разному, т.е. отсутствует взаимно однозначное соответствие между представлением числа и его значением
Двоичная система счисления.
Это позиционная система счисления с основанием 2. Любое число в двоичной системе записывается с помощью всего двух знаков: «0 » и «1 ».
Начало двоичной системе счисления было положено в 1666 году работой выпускника университета Готфрида Вильгельма Лейбница, впоследствии гениального немецкого ученого. Работа называлась «Искусство составления комбинаций» и была посвящена проблеме трансформации человеческих мыслей в точные формальные высказывания.
Идея Лейбница оказалась невостребованной при его жизни, однако почти два века спустя английский математик-самоучка Джордж Буль продолжил исследования Лейбница. В 1847 году он публикует статью «Математический анализ логики», а в 1854 году выходит его работа «Исследование законов мышления». Эти работы положили начало новой науки: алгебры логики. Ее языком была двоичная система счисления.