К началу XIX века мир небесных тел состоял из звезд, планет, комет, астероидов и «косматых» объектов, как называли в те годы непонятные туманности, не различимые ни в какие телескопы. К началу XX века астрономы уже знали примерно 13 тысяч таких туманностей.
Если бы астрономы покопались в пыли архивов, они наткнулись бы на забытую гипотезу Иммануила Канта, который в 1755 году предполагал, что туманности представляют собой гигантские скопления звезд, которые находятся на колоссальных расстояниях от нас. Кант даже назвал их «островными вселенными»… Но, увы, в то время никаких звезд в туманностях не было видно даже в лучшие телескопы.
Правда, однажды, году этак в 1845-м, ирландский феодал Вильям Парсонс, лорд Росс, увлекавшийся строительством телескопов, как-то ночью переполошил всю округу. Сидя в своей домашней обсерватории у самого большого в мире телескопа, изготовленного в мастерских Бирр Кастл (так называлось родовое поместье Парсонсов), Росс обнаружил удивительное волокнистое строение туманности Андромеды. Экстравагантный лорд громкими криками разбудил домочадцев, призывая полюбоваться невиданным зрелищем. В поле зрения телескопа-гиганта струи белесого тумана далекой Андромеды закручивались точно вихрем в гигантскую спираль.
И, открыв новый класс небесных объектов — спиральные туманности, — лорд Росс, получив одобрение Лондонского королевского общества, успокоился.
Сорок лет спустя туманность Андромеды снова заявила о себе. В центре спирального облака вспыхнула звезда! Самые осторожные говорили, что звезда могла вспыхнуть в промежутке между туманностью и земными наблюдателями. Но наиболее смелые вспомнили гипотезу Канта… Однако других звезд в туманности разглядеть по-прежнему никому не удавалось. Нужен был или новый телескоп, или… Это второе «или» принадлежало новому методу исследования удаленных небесных объектов. Назывался он спектральным анализом, позволяющим по цветам спектра раскаленных частиц определять химический состав сжигаемого вещества.
Астрономы сразу приняли спектральный анализ на вооружение. Исследовали с его помощью звезды. Дошла очередь и до туманностей. Если бы спектр туманности Андромеды, полученный в 1899 году, состоял из отдельных светящихся линий, проблема была бы решена сразу. Отдельные линии говорят о нагретом газе. Но в том-то и дело, что спектр загадочной туманности был сплошным и тускло-белым. Это означало, что на самом деле туманность может состоять из множества звезд, отделенных от нас гигантским расстоянием. Правда, с другой стороны, холодный газ, отражающий звездный свет, тоже может давать непрерывный спектр.
В общем, несмотря на отсутствие прямых доказательств, мнение о том, что туманности — скопления звезд, постепенно укреплялось. Стали поговаривать, что это такие же галактики, как наш Млечный Путь, и что вселенная заполнена ими примерно равномерно. Это еще раз свидетельствовало в пользу вселенной Ньютона — Канта, бесконечной, с бесчисленным числом звезд, ее населяющих. Правда, парадоксы Ольберса и Зеелигера протестуют против такого представления.
Но противоречия для того и существуют, чтобы их устранять. И вот немецкий астрофизик Роберт Эмден формулирует условия состояния равновесия газового шара, желая построить на них теорию образования звезд. Это ему удается. Он находит такую структуру, такое распределение масс для сферы с бесконечным радиусом и такой же общей массой, для которой гравитационный парадокс не имеет места. Следовательно, модель бесконечной вселенной снова получила право на существование. Правда, это был лишь частный случай. Стоило в строгом распределении Эмдена произойти каким-то изменениям, как все его хитроумное построение разваливалось. Кроме того, сфера немецкого ученого имела центр. А как найти центр в бесконечной вселенной?..
Следом за ним спасением бесконечной вселенной занялся швед Карл Вильгельм Людвиг Шарлье — профессор университета и директор обсерватории в Лунде. Изучая пространственное распределение звезд, Шарлье применил новые методы математической статистики и примерно к 1908 году разработал свои основы теории строения вселенной. В его тонких и остроумных математических схемах нашлись структуры, не имеющие центра, но подчиняющиеся закону Ньютона без страха гравитационного и фотометрического парадоксов.
Правда, ни сферы Эмдена, ни уточненные математические схемы и построения Шарлье не были откровением. Для устранения парадоксов требовалось изменить что-то более существенное. Лучше, если бы это удалось сделать по отношению к исходным данным, лежащим в основе построения самой модели вселенной. Но «для внесения изменений в теорию, особенно такую фундаментальную, как ньютоновская, нужно иметь какую-то путеводную звезду, опираться на более общую теорию или новые наблюдения, — пишет академик В. Л. Гинзбург. — В доэйнштейновской космологии такой путеводной звезды не нашли».
Попытки, правда, были. Можно вспомнить о стараниях разрешить гравитационный парадокс еще в XIX веке. Тогда возникла идея считать, что ньютоновский закон тяготения справедлив только в небольших, «земных» масштабах наблюдаемой вселенной. В просторах же большого космоса к закону Ньютона надлежит добавлять некий экспоненциальный множитель, в который входит достаточно малая величина космологической постоянной. Тогда для любого конечного расстояния разница между истинно ньютоновским законом и ньютоновским законом с добавлением оказывается ничтожной, но стоит перейти к пространству бесконечному, равномерно заполненному веществом, как трудности, связанные с гравитационным парадоксом, исчезают.
Интересно, что никакой, даже самый тонкий земной опыт этого отступления от ньютоновской трактовки закона всемирного тяготения заметить не позволит. Сегодня мы понимаем, что такая подгонка решения под известный ответ — дело хотя и тривиальное, хорошо знакомое нам со школьной скамьи, но откровенно попахивает спекуляцией. Но в том отчаянном положении, в котором оказалась космология конца XIX столетия, все средства были хороши.
Глава шестая
в которой читатель неожиданно попадает в абстрактный мир науки о пространстве, такой непохожей на добрую старую геометрию, щеголяющую в «пифагоровых штанах» и ловко жонглирующую кубами, цилиндрами, шарами и конусами, а также всевозможными усеченными пирамидами и многогранниками
Атаки, подтачивающие устои бесконечной вселенной, велись не только астрономами, но и математиками. Хотя ни те, ни другие вовсе не ставили перед собой столь неблагородной задачи… Пространство ньютоновской вселенной существовало независимо от материи. Под «материей» подразумевалось вещество, так или иначе распределенное в пространстве. Веществом занимались физика, астрономия и другие науки, призванные изучать «материальный» мир. Пространство являлось прерогативой математики и философии. Из задач человеческой практики возникла даже специальная отрасль математики — геометрия. Развиваясь, она из практической землемерной науки постепенно превратилась в абстрактную математическую теорию.
Все, что нас окружает в мире, все предметы имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Каждый взрослый в состоянии убедиться в этом на глаз или на ощупь, как кому нравится. Автор подчеркнул «каждый взрослый», потому что у дитяти в грудном возрасте воспринимаемое пространство двухмерно. Оно — дитя не понимает, что такое «далеко» или «близко», тянется одинаково ручонками и к маминому носу, и к звездам… Однако постепенно психофизиологические механизмы и груз исторического опыта человечества, именуемый здравым смыслом, приводят ребенка к сознанию того, что мир, в котором он живет, трехмерен.
Но что такое исторический опыт человечества? Несколько тысячелетий сознательного накопления сведений. За это время человечество охватило пространственные расстояния от межатомных горизонтов до космологических просторов. Колоссально! Да, но только с точки зрения человека. Если же считать вселенную бесконечной, то охваченная нашими наблюдениями часть просто бесконечно мала. На каком же основании позволительно распространять столь ничтожный опыт на то, что не имеет меры?.. Почему бы не предположить, например, что наша вселенная одно-трехмерна? Ее модель напоминала бы сеть с узлами. Причем каждый узел — это трехмерная метагалактика, заключающая в себя мириады звездных островов. Посмотрите на чертеж. Так изобразил одно-трехмерную модель вселенной доктор философии Э. Кольман в своей книжке «Четвертое измерение». А рядом модель двух-трехмерной вселенной — тоненькая двумерная пленка с трехмерными пузырьками — метагалактиками. Вы скажете — фантазия. Что ж, согласен. Модель ньютоновской вселенной — огромный пустой ящик — пространство, равномерно заполненное жидким бульоном материи. Чем она лучше?.. Тем, что ее легче себе представить, опираясь на опыт и здравый смысл?
Эти два «кита», опыт и здравый смысл, позволили еще в глубокой древности построить теорию отвлеченно-абстрактного пространства и выявить его основные свойства. Собрал же крупицы мудрости и выковал из них «золотую розу» теории замечательный александрийский математик Эвклид.
Чему учил Эвклид
Эвклид рисовал свои чертежи на песке, на навощенных табличках, на папирусных свитках. О жизни его в архивах истории не осталось буквально ни строчки. Известно только, что жил он примерно в начале III века до нашей эры во времена первого царя из династии Птолемеев и что протекала его деятельность в Александрии. Сохранилась, правда, одна легенда. Однажды царь Птолемей, которому Эвклид преподавал основы математики, пожаловался на длинноты вступлений к науке. На что его учитель, запахнув тогу, заявил, что к геометрии нет «царской дороги». Путь к высотам науки один для всех смертных, и начинается он с простых понятий.
Тринадцать книг его «Начал», содержащие изложение планиметрии, стереометрии и некоторых вопросов теории чисел, в течение двух тысячелетий являются основами изучения математики. «В истории западного мира, — пишет математик Д. Л. Стройк, — „Начала“ после библии, вероятно, наибольшее число раз изданная и более всего изучавшаяся книга. После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга, преимущественно в рукописном виде, была основной при изучении геометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована часто буквально из первых шести книг „Начал“, и традиция Эвклида до сих пор тяготеет над нашим элементарным обучением».
Как же строил Эвклид несокрушимое здание своей геометрии? В основание всей науки он вводит несколько главных положений-истин, по тем или иным причинам не требующих доказательств. Остроумные греческие философы, закаленные в спорах и наделенные скептическим умом, выбирали их очень осторожно. Они разделили подобные истины на аксиомы и постулаты. Аксиомами в те далекие времена называли утверждения, которые нельзя отрицать, не нарушая всех основ логического мышления. Говоря об аксиоме, греки начинали фразу со слов: «Очевидно, что…» И тем отбрасывали всякую возможность спора на этот счет.
Постулаты, в древнегреческом понимании, представляли собой конкретные утверждения, свойственные той или иной науке. Первая фраза постулата должна была начинаться словами «допустим, что…». Это также снимало возможность спора, но не налагало на выдвинутое положение критерия безусловности.
Такое очень важное и тонкое различие между аксиомой и постулатом со временем сгладилось и принесло неисчислимые беды и чистым философам, и представителям натуральной философии, но о том речь дальше.
Изложение геометрии в книгах Эвклида построено в виде системы определений, аксиом и постулатов, из которых логическим путем выводятся теоремы. В первых четырех книгах Эвклид рассматривает геометрию на плоскости. При этом в книге первой он формулирует пять основных требований, или допущений, на которых строит остальные выводы. Постулаты Эвклида настолько наглядны, настолько очевидны, что так и хочется назвать их аксиомами. Но мы уже предупреждены. И мы начеку. Да и сами постулаты при всей своей определенности точно взывают к бдительности. Смотрите сами. Эвклид пишет: «Нужно потребовать (помните, это эквивалентно словам „допустим, что…“):
1. Чтобы из каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию (и притом только одну).
2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.
3. И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.
4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны.
5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороной, с которой эти углы составляют меньше двух прямых».
Даже не умудренный математикой читатель сразу заметит, что пятый постулат резко отличается от четырех первых. Он гораздо сложнее и больше похож на теорему, которую нужно доказывать. В пятом постулате нет и следа наглядности первых четырех, ведь здесь говорится о «неограниченном продолжении» прямых. А попробуйте-ка займитесь этим «неограниченным продолжением». Кто возьмет на себя смелость сказать, что и в бесконечности параллельные прямые не сойдутся?.. То есть интуитивно, конечно, пятый постулат кажется бесспорным. Но интуиция диктуется опытом. Опыт же перед бесконечностью пас. Эвклид и сам скорее всего понимал, что с пятым постулатом не все обстоит чисто. Потому он и распределил изложение материала в своих книгах на две неравные части.
В первой сгруппированы теоремы, которые доказываются с помощью четырех начальных постулатов. Эта часть называется Абсолютной Геометрией. Во второй собраны теоремы, которые могут быть доказаны только при использовании пятого постулата. И эта вторая часть носит название собственно эвклидовой геометрии. Скорее всего некогда пятый постулат был теоремой. Однако ни одна из попыток доказать ее не увенчалась успехом. И тогда Эвклид включил упрямую теорему в число постулатов.
Математики так легко не примирились с решением Эвклида. «В области математики найдется мало вещей, — писал Карл Фридрих Гаусс, — о которых было бы написано так много, как о пробеле в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы попытка восполнить этот пробел. И все же если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид».
От планиметрии — геометрии на плоскости — Эвклид переходит в последних трех книгах к геометрии в пространстве — стереометрии. Что же подразумевал Эвклид под пространством? В руках у вас, читатель, книга. Считайте ее плоскостью. А теперь поднимите ее плашмя над столом и опустите снова. Объем, который прошла книга при этом движении, и есть эвклидово пространство. Просто, правда? В этом пространстве должны быть удовлетворены все постулаты и аксиомы Эвклида, потому что они суть его свойства. Да и кому в голову придет усомниться, например, в том, что прямую линию можно продолжать в бесконечность. Или что пространство всюду обладает одними и теми же свойствами, что позволяет свободно передвигать любые фигуры в пространстве, не нарушая их внутренних связей.
От абстрактного геометрического понятия эвклидова пространства легко перейти к физическому пространству, в котором мы с вами живем и двигаемся. А приложив к миру Эвклида наглядные декартовы координаты, мы добиваемся полного слияния двух геометрий: геометрии Эвклида и геометрии физического мира.
Можно сказать даже, что слишком легко понятия геометрии: точка, линия, фигура, тело — отождествляются с наблюдаемыми объектами. И хотя геометрическая точка является идеализацией точки физической, так и кажется, что подобная идеализация никак не может нарушить основ геометрии. Геометрические объекты физического мира казались настолько тождественными объектам, с которыми имеет дело геометрия, что из этого кажущегося тождества выросла уверенность в том, что для описания пространства физического мира даже формально не может быть построено другой геометрии, кроме эвклидовой. То есть, что геометрия Эвклида — это и есть единственно возможная геометрия физического мира!
Внимательный читатель должен был заметить небольшой логический «кувырок», поставивший взаимоотношения геометрий Эвклида и реального мира в нашем представлении с ног на голову. Родившись и пребывая в своем первоначальном состоянии в качестве предисловия к физике, геометрия воспользовалась полным отвлечением пространственных форм и отношений от материального содержания и превратилась в отрасль чистой математики. Превратилась, чтобы затем подменить собой систему взглядов, описывающих реальный мир. Это было тем более опасно, что, основанная на аксиомах и постулатах, эвклидова геометрия, хоть и вытекала из опыта, проблемой согласования своих выводов с опытом не интересовалась.
Подобные метаморфозы в истории науки не новость. Метод Эвклида был очень похож на метод Аристотеля. Точно так же постулировал Аристотель целый ряд свойств сил и их действий на тела, находящиеся в движении. Понадобился Галилей, чтобы возник вопрос об опытной проверке законов Аристотеля. И тогда казавшаяся совершенной логическая схема стагирского философа и построенная на ее основе механика оказались просто неверными. Галилей с помощью опыта опроверг Аристотеля и открыл дорогу новым законам механики.
Нечто подобное предстояло совершить и с геометрией Эвклида. Но лишь в конце XIX столетия люди поняли, что положения геометрии, описывающие свойства физического пространства, тоже можно и нужно проверять на опыте, как это делают с любыми законами физики. И это было великим открытием.