Основными элементами геометрии всегда являлись прямые линии и углы. Без них геометрию не построишь, как не придумаешь правил правописания без букв. Но можно ли говорить о существовании прямых линий, например, на искривленной плоскости? Конечно, нет! — скажет поверхностный читатель. А глубокомыслящий задумается. Но давайте спросим у самого обитателя расплющенного мира. Ведь мы договорились, что на искривленной поверхности живут плоские, как вырезанные из полиэтиленовой пленки, существа. Итак.
Вопрос. Есть ли в вашем искривленном мире прямые линии?
Ответ. А почему же нет? Если прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, то, двигаясь, или, по-вашему, «ползя», в одном направлении, разве мы не будем совершать движение по прямой?..
М-да, против этого, пожалуй, не возразишь. Разве не так же мы, обитатели сферической (то есть искривленной) земной поверхности, строим «прямые как стрела» дороги и определяем кратчайшие расстояния между двумя городами? Ну, а коли есть прямые линии на искривленной поверхности, то есть и углы, треугольники, окружности, эллипсы…
Короче говоря, обитатели кривого плоского мира вправе ожидать от своего «расплющенного Эвклида» построения науки, которая ничуть не хуже планиметрии.
Теперь представим себе, что эта искривленная поверхность замыкается в шар. Ее обитатели, если они достаточно малы по сравнению с радиусом шара, просто не замечают кривизны. Кстати, «кривизна» чрезвычайно важное геометрическое понятие. Кривизной называют величину, как раз обратную радиусу закругления поверхности в рассматриваемой точке. У шара кривизна во всех точках одинакова. После такого открытия грешно не попытаться в лучших традициях древних греков соорудить аксиому со стандартным началом, «Очевидно, что чем больше радиус, тем меньше кривизна!» Прекрасно!
Теперь вернемся к нашим «расплющенным» мыслителям, живущим на поверхности здоровенного шара, но не знающим этого. Их геометрия ничем не отличается от эвклидовой. Точно так же они станут утверждать, что прямые линии бесконечны, треугольники подобны, а параллельные никогда не пересекаются.
И вот приходим в этот плоский мир мы с вами. Нам тоже пришлось расплющиться. Вы не возражаете? Но все равно и в этом непривычном состоянии мы с вами гиганты мысли. Мы строим на поверхности шара, которую тамошние интеллектуалы именуют плоскостью, треугольник. И предлагаем измерить сумму его углов. Плоскуны-геометры меряют — вроде 180°. В пределах ошибки. Тогда мы растаскиваем, растягиваем стороны треугольника на полмира, в смысле на полшара. Плоскуны снова измеряют и обнаруживают… Ну мы-то, конечно, с самого начала знали, что сумма углов в криволинейном треугольнике не равна 180°, и потому не удивляемся этому результату.
Итак, на поверхности сферы сумма углов треугольника оказывается больше двух прямых, больше 180°. Попробуем сделать еще одну проверку, на этот раз первого постулата: «Из каждой точки к каждой точке можно провести прямую линию (и притом только одну)». Но «прямыми» на сфере являются дуги больших кругов — меридианы. А таких, от полюса до полюса, например, можно провести бесчисленное количество. Опять промах.
Второй постулат: «и чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой». Отправимся в кругосветное путешествие, держась все время строго одного направления. Мы объехали сферический мир и вернулись к следам своих мокасин… Это значит, что законы Эвклида для сферы неприемлемы. Шар требует другой, неэвклидовой геометрии.
Подобный пример в свое время заставил Гаусса крепко задуматься. Как же быть тогда с нашим собственным миром? Действительно ли правдоподобные, но совершенно бездоказательные постулаты Эвклида отражают объективную реальность? А может быть, истинные законы геометрии нашего физического мира совсем иные?.. Вот когда понадобилась впервые проверка геометрии опытом. Нет, нет, Карл Фридрих Гаусс вовсе не собирался взрывать систему Эвклида, как это сделал в свое время Галилей со взглядами Аристотеля. У Карла Фридриха был не тот характер. Но истине он служил честно. Истина же требовала проверки.
Потихоньку, воспользовавшись наличием в своем топографическом хозяйстве угломерных инструментов, Гаусс выбирает вершины трех гор, хорошо заметных на горизонте. То были Хохер-Хаген, Инзельсберг и знаменитый Брокен — согласно поверьям, излюбленное место шабаша ведьм. Вершины составили подходящий по величине треугольник. Гаусс измеряет его углы со всей доступной инструментам точностью. Измеряет, считает, снова измеряет. Нет! Никакого отклонения от 180° сумма углов треугольника не давала. Разочарование?
Конечно! Однако Гаусс никому о нем не говорит. Он не уверен в собственной интуиции и неоднократно в письмах к друзьям то выражает свое недоверие Эвклиду, то снова принимает его взгляды безоговорочно. В конце концов он все-таки отказался от постулатов, заменив их фундаментальными величинами, которые можно точно измерить в каждой точке поверхности, воспользовавшись для этого системой изобретенных им криволинейных (гауссовых) координат. Эти измерения сами по себе дают понятие о кривизне поверхности независимо от пространства, в котором эта поверхность находится. Ведь о форме поверхности мы судим, как правило, извне, держа ее в руках или перед глазами.
Так, лист бумаги, лежащий перед вами на столе, — плоскость. А рулон линолеума имеет цилиндрическую поверхность. А как мы убеждаемся в том, что Земля — шар? Когда в Ленинграде вы смотрите на ночное небо, Полярная звезда стоит высоко над головой. Но погрузитесь в самолет. Через три часа вы на берегу Черного моря. Темной южной ночью поищите свою знакомую Полярную звезду, и вы заметите, как сильно сместилась она к горизонту. На море есть и еще одна возможность ощутить округлость земного бока. Уходит от берега корабль. И чем дальше, тем глубже, кажется нам, погружается он в пучину. Сначала исчезает корпус, потом трубы и наконец мачты… Кругла Земля! Третье измерение позволяет нам зафиксировать этот факт из внешнего, окружающего нашу поверхность пространства. Эта кривизна так и называется внешней, и характеризуется она уже знакомым нам радиусом кривизны.
А как быть, если у нас нет никакой информации о внешнем пространстве? Помните, мы же с вами добровольно согласились расплющиться. Пожалуй, наряду с кривизной внешней должна существовать и кривизна внутренняя, характеризующая поверхность из ее собственных внутренних свойств. Конечно, эта характеристика не столь наглядна. Но получается она благодаря измерениям, производимым на самой поверхности.
Лучше же всего характеризовать кривизну любой поверхности так называемой полной, или гауссовой, кривизной. Тут мы подходим к замечательному открытию, которое совершил Гаусс, исследуя искривленные поверхности.
«Великолепная теорема» Гаусса
Давайте вспомним или познакомимся с тем, как обычно геометры характеризуют кривизну искривленной поверхности в окрестностях избранной точки M. Прежде всего они строят плоскость, касательную к поверхности в исследуемой точке, и восстанавливают перпендикуляр. Затем проводят через перпендикуляр множество секущих плоскостей. Каждая из них пересекает поверхность по какой-то кривой, которую вблизи точки M можно считать частью окружности большего или меньшего радиуса. И вот оказывается, что окружности самого большого и самого маленького радиусов лежат всегда во взаимно перпендикулярных плоскостях сечения. Геометры берут величины, обратные этим радиусам (их называют главными радиусами кривизны), и перемножают:
1/R max · 1/ Rmin = K
Получают, полную, или гауссову, кривизну.
Конечно с точки зрения двухмерных жителей искривленной поверхности касательная плоскость, перпендикуляр к ней, секущие плоскости и все, что выходит за пределы двухмерного мира, — все это недоступно пониманию двухмерного разума, все это для него мираж, нереальность и фантастика. Как же быть?.. И вот Гаусс доказал, что полная кривизна может быть без всяких дополнительных построений выражена через результаты измерений на самой поверхности. Понимаете, независимо от внешнего, окружающего пространства! Это открытие получило название «великолепной теоремы».
Красиво, правда? Любили предки оформлять свои достижения. Любили и умели, нужно отдать им должное.
Величие гауссовой теоремы заключается в том, что полная кривизна абсолютно характеризует поверхность в исследуемой точке. Она доступна жителям двухмерного мира и определяет ту геометрию, которую следует им применять. Плоскуны и плоскатики могут вообще не иметь понятия, что такое «кривизна» собственного мира. Но, получив путем измерений абстрактную величину гауссовой кривизны, равную нулю, они должны пользоваться самым простым типом геометрии — эвклидовой. Если же число К окажется на всей поверхности одинаковым и больше нуля, ряд постулатов Эвклида теряет смысл и нужно применять законы другой — сферической геометрии.
Вообще говоря, «внутренняя» и «внешняя» геометрии могут сильно отличаться друг от друга. Возьмем, например, три геометрические фигуры: плоскость, цилиндр и конус. Внешне выглядят они совсем по-разному. А внутренняя их суть?..
Давайте раздвоимся. Пусть одна наша половинка расплющится и перейдет жить на плоскость, ну хотя бы на лист этой книги. Вторая же часть пусть продолжает сидеть или лежать, держа уцелевшей рукой книгу перед уцелевшим глазом. А теперь аккуратно свернем лист в цилиндр или в конус-кулек и зададим своей расплющенной половинке несколько вопросов.
— Эй, двухмерный, как там у тебя с геометрией?
— Все так же. Как была эвклидовой, такой и осталась…
— Подожди, разве ты не чувствуешь изменений?
— Нет. Гауссова кривизна равна нулю по-прежнему.
И ведь он прав, наш двухмерный двойник. У плоского листа бумаги оба радиуса кривизны, R1 и R2, имеют бесконечно большое значение. Следовательно, произведение их обратных величин даст нуль. Но нуль можно получить, имея и один радиус бесконечным. Значит, и цилиндр и конус будут обладать внутренней геометрией, неотличимой от эвклидовой на плоскости.
Другое дело, если бы нам пришла в голову фантазия превратить плоский лист бумаги в сферу. Впрочем, вряд ли это кому-либо удастся, не сминая листа в складки или не разрывая его поверхности. Сфера — поверхность совсем другого характера, чем плоскость, и потому ее внутренняя геометрия не такая, как у плоскости. И кривизна ее имеет положительное значение, а не равна нулю.
Фактически Гаусс заложил основы совсем новой геометрии, опирающейся на опыт, на измерения, а не на постулаты. Правда, его исследования касались лишь поверхностей двух измерений. Но это была тропа, которая должна была вывести математиков на широкую дорогу обобщений.
Коперник геометрии
«Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Эвклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский — оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково велико. Причина громадного значения той и другой революции заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса», — писал молодой, жизнерадостный, но уже неизлечимо больной чахоткой английский математик Вильям Клиффорд. Писал спустя едва ли двадцать лет после смерти великого русского геометра.
11 февраля 1826 года в Казанском университете состоялось заседание физико-математического отделения, на котором слушался доклад профессора математики Николая Ивановича Лобачевского, посвященный доказательству «теоремы о параллельных». Коллеги без особой охоты сходились в этот ненастный февральский день на совещание.
В университете любили порывистого, безотказного Лобачевского, который всегда охотно откликался на просьбы товарищей. Кто не помнил, что именно Николай Иванович взялся читать математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (ныне Тарту) профессора Бартельса. А когда из отпуска не вернулся в Казань профессор физики Броннер, то Лобачевский принял на свои плечи и его курс одновременно с заведованием физическим кабинетом и заботами о его оборудовании. Он замещал астронома Симонова, ушедшего в плавание с экспедицией Беллинсгаузена, и пекся о судьбе университетской обсерватории. Библиотека — любимое детище Лобачевского, особенно ее физико-математический раздел… Он декан отделения и едва ли не самый активный член строительного комитета, курирующего постройку главного корпуса университета. Непонятно, когда он успевает еще заниматься наукой.
Некоторое время тому назад Лобачевский передал совету отделения свое сочинение, озаглавленное «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Но ни профессора Симонов и Купфер, ни адъюнкт Брашман не спешили с отзывом. Более того, ходили слухи, что мемуар профессора Лобачевского недоступен пониманию нормального человека. Профессора заранее жалели коллегу, на которого нашло затмение… Но вот он на кафедре. Густые, темные, вечно перепутанные в беспорядке волосы, пронзительный взгляд глубоко посаженных серых глаз.
В университете Лобачевский в восемнадцать лет стал магистром. Три года спустя его раньше срока производят в адъюнкт-профессора, а еще через два года он получает кафедру чистой математики и должность профессора. В те годы люди рано стремились к зрелости. Двадцатилетний молодой человек без специальности, без образования, без дела твердо считался пустоцветом и оболтусом. Сто пятьдесят лет назад не могли возникнуть восторги по поводу «запоздалого инфантилизма» — столь модной в наше время проблемы. Конечно, жизнь наших современников стала длиннее. Но вряд ли срок, отпущенный природой на свершение великих дел, возрос так же пропорционально. Долгая старость — не просто время отдыха человека, и право на поучения не дает только седая борода. Мудрость, как и честь, копится смолоду, и счастлив и велик тот народ, чья молодость чтит своих стариков. Но каждую награду следует заслужить…
«Господа, — начал Лобачевский, — трудности понятий увеличиваются по мере их приближения к начальным истинам в природе… Эвклидовы „Начала“, несмотря на все блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки…»
Сколько пришлось ему передумать, прежде чем он отважился заявить об этом с трибуны, прежде чем в результате трудной и мучительной работы мысли открылся ему удивительный путь от попытки доказательства пятого постулата Эвклида к неведомому. Путь, который привел его к открытию нового мира с новой системой измерения — новой геометрией.
«…Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки…»
Ход рассуждений докладчика действительно чрезвычайно сложен, хотя и строго логичен. Размышляя над возможностями доказательства пятого постулата Эвклида, Лобачевский подумал: а не попытаться ли идти от противного? Предположим, мы оставим четыре начальных постулата в неприкосновенности и отбросим пятый? Или еще лучше, отбросим пятый постулат и потребуем, что через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а целый пучок прямых, параллельных данной? И на новой системе аксиом попытаемся построить новую геометрию… Очевидно, что труд сей должен привести к одному из двух:
либо, если пятый постулат является следствием первых четырех, новая система где-то придет к абсурду, так как строится она на предположении, противоречащем следствию;
либо, если логического противоречия в новой геометрии не окажется, это будет служить доказательством того, что пятый постулат совершенно не зависит от остальных.
Тогда новая система взглядов явится геометрией, описывающей некий воображаемый, отличный от Эвклидова, мир. Мир, в котором через точку, лежащую вне прямой, можно провести множество прямых, не пересекающихся с данной… Лобачевский все еще пробует пояснить ход своих мыслей и переходит к следствиям, вытекающим из эвклидовых постулатов.
«В новой геометрии два только предложения возможны — продолжает оратор, не обращая внимания на созревшее у слушателей отчетливое недоумение, — или сумма трех углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам — это предположение составит обыкновенную геометрию; или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название „воображаемой геометрии“».
Коллеги перешептываются, улыбаются, не понимая, зачем профессору Лобачевскому эта чушь, зачем понадобилось ниспровергать существующий порядок его величества здравого смысла. Эх, молодость, молодость… А ведь разумен, энергичен. Ну ничего, остепенится, оставит глупости…
Его даже не пытались понять. Впрочем, может быть, не могли?.. Может быть, перед нами обычная трагедия гения — человека, идущего впереди своей эпохи?.. Особенно нелепо звучал для математиков вывод Лобачевского о том, что в «воображаемой геометрии» угол треугольника зависел от длины его сторон… Эго уже «не лезло ни в какие ворота». Разве что доказывало полную нелепость развиваемых взглядов. Ведь любая сторона треугольника — отрезок. Отрезок можно измерить. Можно дюймами, можно вершками, аршинами, верстами, наконец, метрами или километрами, если господину Лобачевскому так нравятся меры длины, введенные революционной Францией. А что такое угол? Отвлеченная величина, измеряемая градусами или радианами. Какая же связь может существовать между несоизмеримыми разнородными величинами?
Нет, в 1826 году идеи Лобачевского не нашли ни сочувствия, ни понимания у современников. Они не были наглядны! Вот если бы он начертил пресловутый треугольник с углами, сумма которых была меньше 180°, если бы он дал пощупать пальцами кусок плоскости, на которой реализуются четыре постулата Эвклида и пятый — Лобачевского, если бы они, современники, смогли провести на этой плоскости с отрицательной кривизной карандашом линию, которая действительно была бы кратчайшим расстоянием между двумя точками… Тогда они, может быть, поверили бы. Может быть… Потому что достаточно вспомнить первые телескопические открытия Галилея, чтобы представить себе, какую борьбу должно совершить новое, дабы получить признание. Впрочем, консерватизм — это не только отрицательное качество, присущее обществу. Консерватизм — это своего рода антибиотик, предохраняющий общество от незрелых или кратковременных идей. Действительно, великие идеи все равно пробивают себе дорогу.
Год спустя после доклада на заседании отделения Николая Ивановича Лобачевского избрали ректором университета. И с тех пор он девятнадцать лет бессменно, четыре раза пройдя через перевыборы, стоял у кормила Казанского университета. Студенты, особенно математики, обожали своего ректора. За внешней хмуростью молодежь безошибочно угадывала большое и доброе сердце. Сколько анекдотов ходило о ректоре в студенческой среде.
Однажды в книжной лавке Николай Иванович обратил внимание на молоденького продавца, увлеченного чтением. Книжка показалась ему знакомой. Он подошел ближе. Действительно, в руках юноши был математический трактат. Сколько трудностей пришлось преодолеть Лобачевскому, прежде чем способный юноша И. Больцани, так звали продавца, поступил в университет. Ректор не ошибся. Молодой человек с блеском окончил курс обучения и стал профессором физики Казанского университета. Причем случай с Больцани был далеко не единственным. Ректор много помогал питомцам своего университета, не требуя ни наград, ни благодарностей.
В 1829 году основные результаты работы Лобачевского появились в «Казанском вестнике». Опубликование не принесло Николаю Ивановичу радости. Теперь над ним открыто смеялись уже не только коллеги по Казанскому университету. Петербургская академия устами уважаемого своего члена академика Остроградского дала отрицательный отзыв его работе. Говорят, почтенный академик так выразился о казанском профессоре: «Лобачевский — недурной математик, но, если надобно показать ухо, он непременно покажет его сзади, а не спереди».
Лобачевский не сдается. Он пишет статьи на немецком, французском языках, популяризируя взгляды неэвклидовой геометрии. Одиноким гигантом идет он к цели, которая была видна лишь ему одному. Идет, опустив забрало, чтобы стрелы, пускаемые в него лилипутами, по выражению одного из учеников, не уязвляли.
Но стрелы уязвляли. Ведь и гений — человек! Из той же плоти и крови. Что поделать, если глаза его зорче, чем у остальных людей. Если разум могущественнее.
Общество, в котором жил Лобачевский, заставляло жестоко расплачиваться своих членов, не желающих подходить под стандарт. Не поняли окружающие и талантливого венгерского математика Яноша Больяи, пришедшего некоторое время спустя к взглядам, аналогичным взглядам Лобачевского. Некоторые социологи сегодня считают, что в этом находит выражение закон самосохранения общества. Гений — всегда протест. Нельзя сделать новый шаг, не разметав устоев условностей, накопленных обществом. «Воображаемая геометрия» была вызовом здравому смыслу. И ощетинившийся обыватель принял бой. В реакционном журнале «Сын Отечества», который редактировал печальной памяти Ф. Булгарин, появляется издевательская анонимная рецензия… «Воображаемая геометрия» Лобачевского раздражала не только математиков.
Вспомним эпоху. Мало того, что постулаты Эвклида почитались священными и неприкосновенными истинами. В философии царили взгляды Иммануила Канта, отошедшего от материализма молодости. Кант считал, что пространство и время не являются объективно-реальными, не существуют в мире «вещей в себе». По его мнению, пространство и время не более чем формы чувственного созерцания. Так сказать, это формы, упорядочивающие любые ощущения, получаемые от реального мира. Таким образом, не принадлежа к объективному миру, существующему независимо от человека, пространство и время являются лишь созданиями человеческого разума. А следовательно, и законы геометрии люди могут устанавливать не из опыта, а исходя из собственных представлений. Представления же человека о пространстве зафиксированы непоколебимыми постулатами Эвклида. Подобный ход рассуждений привел философа к выводу о непреложности законов геометрии и абсолютном характере пространства и времени.
Лобачевский до конца жизни стоял на материалистических позициях, считая, что только опыт может служить критерием истинности любой геометрии. «Спрашивайте природу! Она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать непременно и удовлетворительно», — говорил он в своей ректорской речи о важнейших предметах воспитания.
Но предполагал ли сам Лобачевский, что его «воображаемая геометрия» не просто логически непротиворечива, но действительно более правильно описывает пространство окружающего мира? Да! Тысячу раз да! Николай Иванович был убежден, что люди не могут навязывать природе законы геометрии. И потому он отрицал взгляды Канта. Как и Гаусс, Лобачевский пытался на практике измерять сумму углов треугольника. Он понимал, что истинность его геометрии для реального пространства может быть доказана лишь при измерениях очень больших расстояний. И Лобачевский строит треугольник с вершинами на Земле, Солнце и Сириусе и, пользуясь известными в его время астрономическими данными параллаксов звезд, пытается вычислить сумму его углов.
Увы, точность угломерных инструментов в его время была недостаточной, а следовательно, и значения параллаксов — приближенными. Рассчитанное отклонение суммы углов от 180° лежало в пределах ошибки измерений. Но отрицательный результат не обескуражил великого геометра. Он понимал, что неудача связана с несовершенством приборов и с тем, что выбранный треугольник был еще слишком мал…
За год до своей смерти слепой Лобачевский продиктовал по-французски свое последнее сочинение «Пангеометрию». Эвклидова геометрия не отрицалась «воображаемой геометрией», она просто являлась ее наиболее простым частным, или, если угодно, предельным случаем, когда гауссова кривизна (она отрицательная в гиперболической геометрии Лобачевского) становится равной нулю.
История последовательного расширения геометрии, идущая от пятого постулата Эвклида до геометрии Лобачевского и Больяи и дальше к Риману и Эйнштейну, является серьезным предостережением тем, кто, занимаясь вопросами космологии, слишком легко экстраполирует то, что он знает о «здесь» и «сейчас», на то, что лежит и происходит «там» и «тогда». Вряд ли стоит, изучив геометрию собственной комнаты, экстраполировать ее выводы на всю вселенную вообще.