Содержание
Стр.
Введение………………………………………………………………………
1. Физическая постановка задачи……………………………………………
2. Математическая постановка задачи………………………………………
2.1. Вывод уравнения крутильных колебаний стержня……………………
2.2. Нахождение собственных форм…………………………………………
2.3. Определение частного вида функции угла закручивания θ(x,t)………
3. Крутильные колебания слоистого стержня………………………………
3.1. Численный расчет в программе MathCad………………………………
Заключение……………………………………………………………………
Список литературы …………………………………………………………..
Введение
Большинство наблюдаемых в природе и технике процессов являются колебательными. К колебательным процессам относятся самые разнообразные явления: от ритмов головного мозга и биения сердца до колебаний звезд, туманностей и других космических объектов; от колебаний атомов или молекул в твердом теле до климатических изменений на Земле, от вибраций звучащей струны до землетрясений. Все акустические явления и явления, связанные с распространением электромагнитных волн, также сопровождаются колебательными процессами.
В данной курсовой работе будут рассматриваться колебания слоистого стержня, под действием поперечного крутящего момента импульсного типа.
Численные расчеты будут проводиться в программе MathCad, так как она обладает следующими преимуществами:
· мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения;
· вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные методы численные методы;
· символьный процессор, являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта;
· огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде библиотеки интерактивных электронных книг.
С помощью программы MathCad можно решать разнообразные математические задачи и оформлять результаты расчетов на высоком профессиональном уровне.
Физическая постановка задачи
Дан слоистый стержень, состоящий из двух слоев повторяющейся двухкомпонентной структуры. Один конец стержня жестко закреплен, другой конец свободный (рис. 1).
Рис. 1. Модель слоистого стержня
На стержень действует нестационарная нагрузка (крутящий момент) импульсного типа. В течение времени t на стержень действует заданный момент M. После истечения времени t, крутящий момент прекращает свое действие и стержень совершает свободные крутильные колебания.
Геометрия стержня задана:
L – длина стержня;
a – длина слоя эластомера;
b – длина слоя титана;
D – диаметр балки,
J0 – полярный момент инерции сечения стерня.
Также известны плотности ρ1 и ρ2 и модули сдвига G1 и G2 материалов, из которых изготовлен стержень.
Для простоты вывода требуемых уравнений, сначала рассмотрим сплошной стержень круглого поперечного сечения (рис. 2).
М
 |
D
 | |||
 |
l
Рисунок 2 – Сплошной стержень
Стержень совершает крутильные колебания под действием сил упругости и вращательного движения:
Потенциальная энергия упругой деформации при кручении:
(1)
Кинетическая энергия стержня:
(2)
Работа внешних сил:
, (3) где μ – распределенный крутящий момент, М – крутящий момент на конце стержня.
Так как крутящий момент приложен только на конце стержня, то
(4)
2. Математическая постановка задачи