Взаимодействие электронов с волной

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

В ЗАМЕДЛЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЕ

Взаимодействие электронов с волной

ЛБВ и ЛОВ относятся к СВЧ приборам с длительным взаимодействием электронного потока с бегущей электромагнитной волной. Для обеспечения эффективности такого взаимодействия необходима близость скорости электронов к фазовой скорости волны, что осуществляется за счет замедления волны в специальной линии передачи, называемой замедляющей системой (ЗС).

Рис 1

Процесс взаимодействия электронного потока с полем бегущей волны может быть качественно описан следующим образом. Пусть в какой-то момент времени t ₀ равномерный поток электронов оказался в поле бегущей волны с продольной электрической составляющей Е_z, причем скорость движения потока V ₀ и скорость распространения волны одинаковы (Рис. 1а).

 

Электроны (условно обозначенные кружками), оказавшиеся в поле положительной полуволны, будут ускоряться, а электроны, находящиеся в поле отрицательной полуволны, под действием составляющей поля будут тормозиться. Направление действия сил ВЧ поля на рисунках показано стрелками. В результате взаимодействия с полем спустя некоторое время в момент t ₁ электроны окажутся сгруппированными в сгустки.

При скорости движения электронов в потоке равной скорости волны, распространяющейся вдоль оси z, группировка будет происходить вблизи точек оси z, где значение Е_z меняет знак с положительного на отрицательный (Рис 16). В этом случае сгустки будут двигаться синхронно с волной и в среднем обмена энергией между электронным потоком и электромагнитной волной не будет.

Если скорость электронного потока V ₀ будет несколько больше V_Ф волны, то сгустки электронов будут образовываться в точках, где составляющая Е_z отрицательна (поле тормозящее) (Рис 1в).

Под действием тормозящего поля при дальнейшем движении вдоль z электроны будут отдавать энергию волне и томозиться. В результате амплитуда волны будет нарастать и, таким образом, возможно усиление электромагнитных колебаний.

При построении теории приборов, в которых происходит взаимодействие бегущей электромагнитной волны с электронным потоком, обычно считают, что в отсутствии ВЧ поля электроны движутся прямолинейно вдоль оси z с некоторой скоростью V ₀ - такое рассмотрение предполагает, что электронный поток погружен в бесконечно большое фокусирующее магнитное поле, которое препятствует поперечному движению электронов, вызванному кулоновскими силами растатасивания в пучке.

 

Пусть волна (распростраяяюшаяся в том же направлении, что и электронный поток и имеющая фазовую скорость V_ф) на входе в систему (Z = 0) имеет амплитуду Е ₀. В процессе взаимодействия с электронным потоком амплитуда поля будет меняться и в каждой точке одномерного пространства взаимодействия будет характеризоваться величиной Е (z).

Уравнение движения электрона

где

Здесь β = ω/ V_ф - фазовая постоянная волны, характеризующая изменение фазы на единицу длины.

Стоящая в правой части уравнения (1) величина Е (z) неизвестна, ее отыскание можно провести методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения используется амплитуда поля невозмушенной волны (то есть волны в отсутствие электронов): Е (z) = Е ₀ e^{j(ω t -β z)}

Тогда уравнение движения для решения задачи в первом приближении принимает вид:

Проинтегрировав дважды это уравнение находим закон группировки электронов. Далее находится конвекционный ток, проводится его гармонический анализ, выделяется составляющая тока с основной частотой (первая гармоника тока). Затем находится поле, возбуждаемое первой гармоникой тока. Оно является поправкой к невозмущенному полю и, складываясь векторно с полем нулевого приближения, дает Е_z в первом приближении. Далее полученное Е_z опять подставляем в уравнение (1) и цикл повторяется. В результате получаем второе приближение и т.д.

 

Решение задачи в первом приближении.

Провести непосредственно интегрирование уравнения (1) затруднительно. Поэтому эту операцию можно провести последовательными приближениями, взяв в качестве нулевого приближения для координаты z невозмущенное движение электрона:

z = V ₀(t - t ₀) (2)

где V ₀ - начальная скорость электронов; t ₀ - момент времени, соответствующий влету электрона в систему (z = 0)

Подставляем (2) в (1’):

или

Далее решение задачи будем проводить для случая идеального синхронизма движения волны и пучка электронов (V ₀ = V_ф). Тогда:

Интегрируя от t ₀ до t получаем (учитывая, что при t =t ₀, V = V ₀)

Используя формулу Эйлера, выделим действительную часть в последнем выражении:

 

V = V ₀ + ηE ₀(t - t ₀)cos ω t ₀

Поставка теперь вместо t – t ₀ нулевое приближение t – t ₀ = z/V ₀ и учитывая, что скорость электронов V ₀ связана с ускоряющим напряжением соотношением: получаем

(4)

Это выражение характеризует процесс модуляции электронов по скорости (в зависимости от времени влета в систему t ₀).

В общем случае, если V ₀ ≠ V_ф выражение для V имеет вид:

 

(4')

где: (5)

Параметр называется параметром эффективности модуляции в бегущей волне.

При уменьшении Ф_о, т.е. при приближении V ₀ к V _ф М → 1. При этом, согласно (5), электрон оказывается в поле данной фазы в течение всего времени пролета, что обеспечивает наилучшую модуляцию скорости электронов полем волны. При увеличении Фо электрон за время пролета испытывает действие поля волны меняющейся фазы. Средний эффект воздействия волны уменьшается.

Вторичное интегрирование (3) дает возможность получить первое приближение для координаты электрона. При V _o = V_ф

(6)

или, проведя такие же выкладки как выше для V, получим

Умножаем обе части на β₀ = ω/ V ₀ и тогда:

(7)

где X = E ₀β₀ z /4 U ₀ - параметр группировки.

 

Используем (7) для нахождения комплексной амплитуды сгруппированного тока. Дополнительно для этого используем закон сохранения заряда I ₀dt₀ = i (t) dt

получаем

 

При малых уровнях входного воздействия Е₀, т.е. при малых значениях параметра группировки (X ‹‹ 1)

а так как в нулевом приближении ω t - β₀ z = ω t - β₀ V ₀(t - t ₀) = ω t ₀, то i (t) можно представить в виде

 

 

Перейдем теперь к рассмотрению возбуждаемого сгруппированным током поля. Поле в линии передачи, возбуждаемой током, в плоскости z определяется по формуле:

 

где R_св - сопротивление связи, характеризующее связь линии передачи с пучком и складывается из следующих компонент:

§ -одна представляет собой поле "холодной" волны (без пучка);

§ -вторая - часть поля, возбужденного в области 0 - z током i, распространяющимся вправо;

§ -третья - распространяющуюся влево часть поля, возбужденного во всех сечениях ξ между z и L.

 

(ξ - текущая координата)

 

Фактор e^{±jβ(z -ξ)} учитывает конечную скорость распространения фазы волны: в данный момент в плоскость Z приходят парциальные волны, возбужденные током i (ξ) тем раньше, чем дальше от плоскости Z находится плоскость ξ источника возбуждения.

 

Последний член в (9) оказывается значительно меньше предыдущих и его можно не учитывать. Тогда

(10)

знак "-" относится к ЛБВ, а "+" - к ЛОВ.

Амплитуда возбуждаемого током поля

(11)

Теперь подставим найденное значение тока (8) в (11). Если ввести параметр усиления С, который определяется выражением С ³ = I ₀ R_св /4 U ₀, то получим

 

E ₁ = E ₀(2π CN)³/3!,

где N - число длин волн, укладывающихся вдоль системы от 0 до z, т.е. 2π N = β z, а N = z /λ

Итак, в первом приближении поле в любом сечении системы определяется выражением:

(12)

В обшем случае, в отсутствии синхронизма (V ₀ ≠ V_ф) последнее выражение усложняется:

 

(13)

где:

В (13) член с F_а, определяет "активный " характер взаимодействия между волной и пучком (F_а > 0 соответствует увеличению средней кинетической энергии электронов - электроны отбирают энергию у волны, а F_а < 0 - поток отдает энергию волне).

Член с F_b определяет "реактивный" характер взаимодействия.

Отметим, что при V ₀ = V_ф (синхронизм) согласно (12) взаимодействие носит чисто реактивный характер. Это следует и из рассуждении, приведенных в начале описания.

Преобразуя (12) нетрудно определить амплитуду и фазу волны в любом сечении z.

(14)

Величина характеризует фазу «горячей волны», это позволяет найти следующим образом фазовую скорость

Видно, что фазовая скорость "горячей " волны уменьшается по сравнению с со скоростью электронов V ₀ = V_ф. В результате такого "замедления"волны, электронные сгустки попадают в тормозящую фазу и, как следствие, при взаимодействии происходит нарастание амплитуды волны.

 

 

Лампа бегущей волны.

 

Схематически лампа бегущей волны может быть представлена в виде

Рис 2

 

Напряжение на управляющем электроде задает величину тока, напряжение U ₀ определяет скорость электронов, U_кол в используемой лампе равно U ₀.

Полученные выше выражения позволяют рассчитать коэффициент усиления ЛБВ в линейном режиме (при малом входном сигнале). Используя (14) в случае синхронизма V ₀ = V_ф получаем

(15) т.к. обычно (2π СN)³/3! >>1, то

 

K_ус = (2π СN)³/3! (15’)

При значения скорости электронов, не совпадающих с V_ф, для расчета K_ус следует использовать (13).

График зависимости K_ус от b = (V₀/V_ф-1)/C - имеет вид, приведенный на рис. 4. Обратим внимание на то, что коэффициент усиления в технике СВЧ измеряется в децибелах.

Рис 4

Характер этой зависимости позволяет предположить, что зависимость К_ус от U _0, в свою очередь, будет иметь вид:

 

 

Рис 4. Физический смысл этих зависимостей определите самостоятельно.

До сих пор мы рассматривали линейный режим работы ЛБВ. В общем же случае амплитудная арактеристика имеет и нелинейный участок. Качественно и коротко появление нелинейности можно объяснить следующим образом.

В оптимальном и линейном режиме (при U _{0 опт} ) мы добиваемся,что6ы сгустки электронов образовывались в тормозящей фазе поля. В процессе движения к коллектору электроны отдают свою энергию полю,оставаясь все время в тормозящей фазе. С ростом амплитуды сигнала сгусток отдает все больше энергии и все интенсивнее (быстрее) тормозится. При достижении значения входной мощности Р'_вх сгусток, не доходя до конца пространства взаимодействия., тормозится настолько, что выходит из тормозящей фазы и попадает в ускоряющую, начиная отбирать энергию у поля. Это приводит к уменьшению К_ус.

Рис 5

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Конструкция ЛБВ

2. Схема подведения постоянных напряжений к электродам ЛБВ.

3. Схема подведения входной мощности и вывода усиленного сигнала.

4. Замедляющие структуры и их характеристики.

5. Принцип взаимодействия волны с электронным потоком. Параметр Х.

6. Группировка электронного потока в сгустки.

7. Работа электронного потока в поле волны.

8. Условия для усиления сигнала.

9. Параметр усиления и коэффициент усиления ЛБВ.

10. Коэффициент усиления ЛБВ.

11. Зависимость коэффициента усиления от напряжения на спирали.

12. Зависимость коэффициента усиления от частоты. Причины, ограничивающие полосу усиления ЛБВ.

13. Зависимость выходной мощности и коэффициента усиления от входной мощности.

 

ЛАМПА ОБРАТНОЙ ВОЛНЫ

Устройство ЛОВ схематически имеет вид. В отличие от ЛБВ, электронный поток взаимодействует с одной из обратных пространственных гармоник бегущей волны, которая, как известно,характеризуется тем, что ее фазовая и групповая скорости имеют противоположные направления.

Так как сопротивление связи пространственных гармоник резко уменьшается с увеличением номера гармоники, то в ЛОВ используются обычно такие замедляющие системы, в которых обратная пространственная гармоника является первой основной гармоникой.

Для эффективного взаимодействия в ЛОВ так же как и ЛБВ необходимо соблюдение условия синхронизма, т.е. V ₀ ≈ V_ф. Движение электронного потока должно совпадать по направлению с фазовой

скоростью, при этом энергия в замедляющей системе в соответствии с направлением групповой скорости распространяется навстречу электронному потоку, то есть от коллектора к пушке. Поэтому в ЛОВ вывод энергии необходимо располагать возле электронной пушки.

Рис 7

Распространение энергии в направлении, обратном движению электронного потока, создает внутреннюю положительную обратную связь между полем волны и потоком электронов. Эта связь распределена во всем пространстве взаимодействия. Часть энергии волны возвращается электронному потоку, что способствует дальнейшему группированию потока и возникновению автоколебательного режима.

Условие баланса фаз в данном случае, как и в любом автогенераторе сводится к тому, чтобы суммарный фазовый сдвиг в генераторе и в цепи обратной связи был кратен 2π.

 

β₁ l ₁ + β₂ l ₂ = 2π m (16)

 

где β₁ и β₂ постоянные распространения волны в замедляющей структуре и электронном потоке; l ₁ и l ₂ длины соответствующих участков петли обратной связи. Так как обратная связь существует на всем протяжении пространства взаимодействия, то можно считать, что l ₁ = l ₂ = l.

Для создания широкополосного генератора необходимо, чтобы условие (16) при фиксированном значении l выполнялось во всем диапазоне частот. Это возможно,если изменение с частотой β₁ будет комперсироваться изменением β₂, то есть независимо от частоты вдоль петли обратной связи будет укладываться одно и тоже число длин волн. Из Условия (16) получаем

 

(17)

 

Так как имеем V_{z 1} = V_{z 2}. Следовательно, для выполнения условия баланса фаз необходимо, чтобы групповые скорости на обеих половинах любой петли обратной связи были равны и противоположны по направлению.

Пусть В ЛОВ электронный поток взаимодействует с полем первой обратной пространственной гармоники, фазовая скорость которой совпадает с направлением движения электронного потока и равна V ₀.

Для эффективного взаимодействия,так же как и в ЛБВ, скорость электронного потока должна немного превышать скорость волны, но мы будем считать, что V ₀ ≈ V_{ф (-1)}. Электроны группируются в сгустки, которые расположены в области тормозящего поля и отдают при торможении часть своей кинетической энергии электромагнитной волне. В результате группировки в электронном потоке возникает волна, бегущая слева направо со скоростью V ₀ и с фазовой постоянной β₀ = ω/ V ₀. Групповая скорость этой волны направлена противоположно групповой скорости первой обратной пространственной гармоники, а по величине эти скорости равны, т.е. условие (17) выполняется. При изменении частоты это условие выполняется за счет соответствующего изменения скорости электронов V ₀, т.е. изменением ускоряющего напряжения. Таким образом, частота колебаний в ЛОВ определяется с одной стороны параметром замедляющей системы β_(-1) (дисперсионной характеристикой), а с другой - скоростью электронов V ₀, которая зависит от величины ускоряющего напряжения. Зависимость частоты генерации от ускоряющего напряжения имеет вид, показанный на рис.8.

Частотная характеристика ЛОВ нелинейна. Отношение максимальной частоты рабочего диапазона к минимальной называется коэффициентом перекрытия диапазона. В некоторых современных ЛОВ он достигает 4.

Рис 8

Выведем соотношения, определяющие пусковые условия ЛОВ. Как было показано в общей теории взаимодействия пучка и поля

 

Если рассматривать ЛОВ как усилитель, то можно определить коэффициент усиления как

 

K_ус = E(0)/ E (l).

 

Условием генерации на обратной волне будет обращение K_ус в ∞ или обращение поля на коллекторном конце в 0 т.е. Е (l) = 0.

В первом приближении пусковые условия генератора на обратной волне имеют вид

 

F ₂(Ф _оп) = 0, 1 + (2π СN)³ nF_в (Ф _оп) = 0.

 

Использую полученные ранее выражения для F_в, и F₂ перепишем эти условия в виде

Из первого уравнения следует, что одно из решений получается при Ф_оп = -π, тогда или

Это условие означает, что для лампы определенной длины с ускоряющим напряжением U ₀ имеется значение тока пучка I_п, при котором выполняются условия возникновения генерации (баланс амплитуд).

Из первого уравнения системы так же следует, что самовозбуждение может произойти не только при Ф _оп = -π, но и при Ф _оп = -π(2 n + 1).

Это условие означает, что при одном и том же U ₀ могут одновременно существовать несколько волн с фазовыми скоростями

В общем случае в генераторе имеет место явление многочастотности, т.к. волны с различными фазовыми скоростями характеризуются различными частотами.

К сожалению, первого приближения недостаточно для расчета пусковых токов высших видов колебаний (n > 0). Точный анализ показывает, что I_{п 1} = 6,3 I_{п 0}. Итак, чтобы избежать появления высших типов колебаний следует выбирать такие значения рабочих токов, чтобы I_{п 0} < I ₀ < 6,3 I_{п 0}.

 

Зависимость выходной мощности от ускоряющего напряжения приведена на рисунке 9

Рис 9

Ее вид объясняется зависимостью частоты и сопротивления связи от этого напряжения. Экспериментально снятые зависимости частоты и мощности генерации как правило бывают изрезанными, что объясняется низким качеством согласования замедляющей системы с выходным волноводом и отражениями от поглотителя.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Конструкция ЛОВ

2. Схема подведения постоянных напряжений к электродам ЛОВ.

3. Схема вывода усиленного сигнала.

4. Замедляющие структуры и их характеристики.

5. Принцип взаимодействия волны с электронным потоком.

6. Группировка электронного потока в сгустки.

7. Параметр группировки Х.

8. Условия самовозбуждения ЛОВ. Пусковой ток.

9. Баланс фаз в ЛОВ.

10. Зависимость частоты и мощности от напряжения на спирали.