Энергетические характеристики сигналов

Пусть сигнал x (t), задан на интервале наблюдения t_m и есть напряжение (или ток) на сопротивлении R = 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области средняя мощность P и энергия E будут равны:

(1.9)

где обозначение означает усреднение по времени квадрата сигнала.

Если допустить периодическое продолжение сигнала x (t) с периодом T = t_m, то среднюю мощность можно находить также, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:

–для ряда (1.1); (1.10)

–для ряд (1.2); (1.11)

–для ряда (1.3); (1.12)

Часто сигнал задается на бесконечном интервале [−∞,∞]. Тогда

(1.13)

Здесь различают два вида сигналов: энергетический или импульсный (E→E₀ =const, Р→ 0) и мощностной (E→∞, Р→P₀ =const).

Для энергетического сигнала справедливо равенство Парсеваля (или теорема Рейли)

(1.14)

Функция F (j ω)²= A² (ω) = E (ω) называется спектральной плотностью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в один рад/сек. Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как понятие энергии теряет смысл. Средняя мощность при t_m → ∞ будет

(1.15)

где – спектральная плотность мощности.

Для количественной оценки временного сдвига детерминированных сигналов используют автокорреляционную функцию АКФ

(1.16)

Энергетический спектр и АКФ связаны преобразованием Фурье:

(прямое преобразование); (1.17)

(обратное преобразование). (1.18)

Пример 1.3

Требуется найти энергию и энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса x(t) с амплитудой U_m: = 0.4 volt длительностью τ:= 2 sec. Оценить распределение энергии в его спектре.

Математическая модель сигнала (рисунок 8 при T:= 2∙τ и

Рисунок 8 – Математическая модель сигнала

Решение

На сопротивлении R:= 1∙.Ω полная энергия импульса

Спектральная функция симметричного относительно начала координат прямоугольного видеоимпульса будет

По определению энергетический спектр или спектральная плотность энергии на сопротивлении R:= 1∙.Ω есть квадрат спектральной функции, т.е.

Например, E_x(1∙sec^-1) = 0.453 sec² ∙ watt.

Согласно равенству Парсеваля (1.14), энергия сигнала
в частотной области

Итак,

Введем (пусть ω:= 1∙sec^-1) безразмерную частотную переменную w:=ω∙τ. Тогда энергетический спектр

График нормированного энергетического спектра прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной w приведен на рисунке 9 при w:= 0, π/100.. 6∙π.

Рисунок 9 – Функция безразмерной частотной переменной

Рисунок показывает, что энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса носит лепестковый характер. Для многих задач представляет интерес доля общей энергии сигнала, содержащаяся в пределах одного, двух, трех и т.д. лепестков спектральной диаграммы на рисунке 9.

Определим функцию интегрального синуса

и введем безразмерную переменную z=w/2. При этом dω=2dz/τ. Тогда доля энергии прямоугольного видеоимпульса, заключенная в k последовательных лепестках.

Например, при k:=1 энергия E1_x(1):= 0.289 sec∙watt, а при k:=2, E1_x(2):= 0.304 sec ∙ watt.

Полная энергия импульса

Относительная доля энергии в зависимости от числа учитываемых лепестков

Пример показывает, что переход от k:=1 к значению k:=2, т.е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимпульс, увеличивает энергию сигнала на его выходе всего на 4.7%.