Обозначения и сокращения
Постоянные величины:
σ = 5,67∙10–8 Вт/(м2∙К4)– постоянная Стефана-Больцмана.
Переменные величины:
A = {α ik } – матрица искомых функций;
As – коэффициент поглощения, м2;
a – вектор-строка или вектор-столбец матрицы A;
С = ca – абсолютная теплоемкость, Дж/К;
c = сm – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг∙К);
E – единичная матрица;
Ei – тепловая мощность, подводимая к i -му элементу из окружающего пространства;
J – функционал-невязка температуры;
L – функционал Лагранжа;
l – текущая итерация;
M – сглаживающий функционал;
m – целевая итерация;
N – ранг матрицы тепловых проводимостей; количество уравнений в системе; размерность вектора идентифицируемых параметров;
Q – тепловой поток, Вт;
q – плотность теплового потока, Вт/м2;
Qi – тепловая мощность, выделяемая в i -м элементе;
T – температура, К;
u – вектор производных температур по времени c координатами ui, u = { ui };
V – объем, м3;
z –вектор температур с координатами Ti, z = { Ti };
α th = Rth –1 – удельная тепловая проводимость, Вт/(м2·К);
α th,a = Rth , a –1 – абсолютная тепловая проводимость, Вт/К;
α D,ik – коэффициенты взаимодействия потенциалов Ф Y степени D элементов i, k;
β – шаг спуска;
γ – параметр регуляризации;
Δ – оператор Лапласса; оператор изменения величины;
δ – толщина слоя материала, м;
δ2 – ошибка аппроксимации правой части;
δ T 2 – ошибка в температурной информации;
δΣ2 = δ2 + δ T 2 – суммарная ошибка задания исходных данных;
δ Y – вариация величины Y.
ε – излучательная способность (степень черноты);
λ – теплопроводность, Вт/(м∙К);
ρ – плотность, кг/м3;
σ2(Y) = D(Y) – дисперсия величины Y;
ξ – функция градиента функционала-невязки J (метод итерационной регуляризации); функция приращения правой части (вариационный метод Тихонова);
|
|
τ – время, с;
τ0,63 – постоянная времени, с;
υ ij – вариация температуры Tij = Ti (τ j);
φ – термодинамический потеницал; угловой коэффициент;
χ ik (τ) = φ ik (τ) Fi σ – коэффициенты излучения, Вт/К4;
ψ ij, η i, μ ij – неопределенные множители Лагранжа.
Индексы:
a (0) – начальное приближение вектора a;
а (∞) – точное значение вектора a;
max – maximum, максимум;
min – minimum, минимум;
T (0) – экспериментальное значение температуры;
th – thermal, термический (тепловой);
V – volume, объемный;
Y ( l ) – значение величины Y на итерации l.
Сокращения:
ИКИ – имитатор инфракрасного излучения;
МИР – метод итерационной регуляризации;
ММ – математическая модель;
ИНС – искуственная нейронная сеть;
ИСИ – имитатор солнечного излучения;
МРП – математическая модель с распределенными параметрами;
МСП – математическая модель с сосредоточенными параметрами;
КА – космический аппарат;
КТТ – контурная тепловая труба;
САС – срок активного существования;
САПР – система автоматизированного проектирования;
СТР – система термического (теплового) регулирования;
СЧ – составная часть;
СП – сотовая панель;
ТВИ – термические (тепловые) вакуумные испытания;
ТРП – терморегулирующее покрытие;
ТСП – термически стабилизированная сотовая панель;
ЭВТИ – экранно-вакуумная тепловая изоляция.
Лекция i
Введение – основные определения
1.1. Математические модели.
Математическая модель (ММ) – это абстрактное средство приближенного представления (отображения) реального процесса с целью его исследования, являющееся математическим описанием существенных факторов процесса и взаимосвязей между ними. Обычно одному и тому же процессу может быть сопоставлено некоторое множество моделей, отличающихся числом учитываемых факторов и полнотой и точностью описания процесса, с одной стороны, и сложностью модели – с другой. Одно из главных требований к ММ состоит в необходимости учета в ней всех основных факторов и взаимосвязей рассматриваемого процесса и исключения второстепенных. Выбор модели определяется целью проводимого исследования. При этом, всегда стремятся упростить модель для удобства работы с ней и снижения затрат вычислительного времени при ее практическом применении [1].
|
|
Для решения технических задач, связанных с функционированием технических систем, могут быть использованы достаточно простые математические модели, которые должны быть теоретически обоснованы и экспериментально подтверждены. На практике используются стационарные и нестационарные (динамические), линейные и нелинейные, одномерные и многомерные модели [1].
1.2. Физическое представление технических систем.
Космический аппарат (КА) – это техническая система, состоящая из множества подсистем и предназначенная для достижения цели космического полета при помощи решения задач функционирования подсистемами в течение срока активного существования.
Любое материальное тело является физическим объектом, но не обязательно технической системой. Объект становится частью системы, если взаимодействует с другими объектами, и тогда совокупность взаимодействующих частей образует систему: совокупность материальных тел – физическую, совокупность технических объектов – техническую.
|
|
В широком смысле физический объект становится техническим, если он является средством решения некоторой технической задачи. Взаимодействующие технические объекты образуют техническую систему, способную решать более сложные задачи. Взаимодействие может быть одного или нескольких видов, каждый из которых описывается отдельным физическим законом. В зависимости от видов взаимодействия техническая система делится на физические, в каждой из которых реализуется один из видов взаимодействия: механический, тепловой, электрический, магнитный и т. д.
Во всех видах взаимодействия присутствует обмен энергией, поэтому все системы являются термодинамическими, а термодинамическое описание взаимодействий – наиболее общим. Термодинамическая система выделяется из окружающей среды, которая также рассматривается как термодинамическая система с определенными свойствами. При отсутствии обмена энергией (и массой) с окружающей средой термодинамическая система является изолированной, а при наличии – открытой. Если присутствует только обмен энергией, то система называется закрытой.
Состояние системы характеризуется полем потенциала и свойствами, показывающими способность ее элементов участвовать в тех или иных видах взаимодействия. Взаимодействие с окружающей средой определяется краевыми условиями, которые задаются как функции координат в начальный момент времени (начальные условия) или как функции времени на границах системы (граничные условия). В результате взаимодействия элементов системы между собой и с окружающей средой происходит процесс, который описывается функцией координат, потенциала и времени: в теплофизических системах протекают тепловые процессы, в электрофизических – электрические, в механических – механические и т. д.
По отношению к параметрам термодинамических систем возможны два вида задач – прямые и обратные. В прямых задачах из уравнения взаимодействия определяется поле потенциала по известным краевым условиям. Целью обратных задач является восстановление граничных условий при соответствующих свойствах и поле потенциала (задачи диагностики) или свойств, при которых реализуется определенное поле потенциала для заданных граничных условий (задачи идентификации).
Уравнения взаимодействия включают функцию процесса и дифференциальный оператор, характеризующий распределение потенциала внутри системы, имея первый (уравнение теплопрводности) или второй (волновое уравнение) порядок производной по времени и второй порядок производной по координате. Математические модели, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных, называются моделями с распределенными параметрами (МРП).
Если система приводится к конечному числу узлов, внутренние связи которых не рассматриваются, для каждого узла записывается уравнение взаимодействия, в котором дифференциальный оператор по координатам равен нулю, и, следовательно, уравнение взаимодействия узла представляет собой функцию процесса, равную нулю. Математические модели таких систем представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и называются моделями с сосредоточенными параметрами (МСП). Взаимодействие узлов системы в МСП характеризуется не свойствами непрерывной среды, как в МРП, а коэффициентами взаимодействия, которые в отличие от непрерывных свойств неизвестны.
1.3. Расчетно-экспериментальный метод.
За несколько десятилетий космическая техника прошла путь от первых искусственных спутников до пилотируемых полетов и автоматических межпланетных аппаратов. За это время создана экспериментальная база наземной отработки космических аппаратов (КА), включая испытательные стенды, позволяющие в режиме реального времени имитировать штатные воздействия на КА, которые он испытывает в полете.
Одновременно с экспериментальными методами совершенствовались и методы математического моделирования, что в значительной мере связано с развитием вычислительной техники и программного обеспечения. Необходимость построения точных математических моделей систем КА требует их уточнения по результатам испытаний путем формулировки и решения тех или иных обратных задач (ОЗ).
Дальнейшее повышение точности расчетно-экспериментальных исследований зависит от использования современных математических методов на всех этапах подготовки, проведения и обработки результатов, а также применения современных технических средств, например, автоматизированных информационно-измерительных комплексов, основу прикладного математического обеспечения которых могут составить методы решения ОЗ [2].
Присутствие связи в виде обратных задач теплообмена между физическими и математическими моделями в расчетно-экспериментальном методе отработки КА и их составных частей (СЧ) позволяет рассматривать математические модели как элементы единой системы, параметры которой настраиваются при помощи решения обратных задач.
Отработка КА расчетно-экспериментальным методом позволяет [3]:
– заменить комплексные испытания КА автономными испытаниями СЧ;
– уменьшить количество и продолжительность режимов испытаний;
– увеличить точность расчетов за счет идентификации математических моделей.
1.4.Систематизация расчетно-экспериментального метода.
Методология разработки космических систем (систем КА) и технологий их производства включает с точки зрения математического моделирования процессов, протекающих в них, следующие этапы [4]: проектирование, содержащее структурную и параметрическую оптимизацию системы или процесса; многофакторную настройку на оптимальный режим функционирования – оптимальное планирование эксперимента; оптимальное управление системой или процессом в реальном масштабе времени.
Сложность реализации представленной методологии разработки космических систем и технологий заключается в том, что все эти этапы требуют наличия математической модели, построение которой методологически идентично – модель проектируется, идентифицируется и применяется для расчетов в определенном масштабе времени. По этой причине структурную и параметрическую идентификацию математической модели целесообразно проводить в два этапа в рамках проектных и поверочных расчетов наземных и летных испытаний систем КА, которые выполняются до и после их экспериментальной отработки [3].
Один и тот же физический процесс может быть представлен множеством моделей, различающихся числом факторов, полнотой, точностью описания и сложностью модели. В соответствии с целевым назначением каждого этапа математические модели состоят из различных наборов параметров, управляющих воздействий или параметров оптимизации и включают различные ограничения и допущения. Поэтому идентификацию физических процессов целесообразно осуществлять на нескольких уровнях в зависимости от этапов разработки в рамках иерархической системы. Иерархическая система идентификации включает следующие элементы [4].
1. Совокупность моделей, описывающих физические процессы и функционирование космической системы или технологии. При этом, модели в виде краевых задач содержат информацию о физике процесса, а математические модели регрессионного типа – структуру и функциональные связи действующих факторов.
2. Совокупность моделей качества, определяющих по заданным критериям оптимальности степень сложности и детализации модели на отдельных этапах разработки.
3. Задачи структурной и параметрической идентификации, решение которых обеспечивает оптимальность модели по заданным критериям.
4. Условия, вид и сочетание натурных и вычислительных экспериментов – включение и натурного, и вычислительного эксперимента в единый итерационный процесс параметрического синтеза.
В пределе методология отработки и применения космических систем должна основываться на единых математических моделях, которые имеют несколько уровней детализации. Эти модели используются для проектирования систем КА, участвуют в планировании эксперимента, проходят качественную и количественную идентификацию после наземных испытаний и затем программируются в системах управления систем КА.
Для этих целей хорошо подходят нейронные сети и близкие к ним по смыслу математические модели с сосредоточенными параметрами (МСП), которые могут быть представлены как полные нейросети с нейронами в виде узлов модели и синапсами в качестве тепловых связей. Тогда идентификация МСП аналогична по смыслу обучению нейронной сети, а применение МСП в системах управления – функции принятия решения обученной нейросетью в условиях, отличающихся от тех, которые присутствовали в обучающей выборке при наземных испытаниях.
Лекция ii