ЛАХ и АФЧХ исходной системы: 
а) Разомкнутая система
Передаточная функция: 
Корни характеристического полинома: 
Все корни характеристического полинома меньше нуля, сл-но, система устойчивая.
Проверим по критерию Гурвица:
Характеристический полином: 4p3+9p2+6p+1
б) Замкнутая система
Передаточная функция: 
К характеристического полинома:
Проверка по модифицированному критерию Гурвица:
,замкнутая система является неустойчивой
С помощью Mаtlab найдем корни характеристического полинома:
>> roots([4 9 46 201])
ans =
0.5396 + 3.8473i
0.5396 - 3.8473i
-3.3293
Система неустойчивая, так как у характеристического полинома есть корни, лежащие в правой полуплоскости.
Проверим критерий Михайлова:
Для разомкнутой системы:
Кривая начинается на положительной полуоси и огибает n=3 квадрантов, соотв-но – система устойчива.
Для замкнутой системы:
Начинаясь на положительной полуоси кривая не огибает ноль и не проходит 3 квадранта, система не устойчива.
Проверим критерий Найквиста по АФЧХ разомкнутой системы:
Как видно, кривая огибает точку (-1,0), соответственно замкнутая систем неустойчива.
2. Построение областей устойчивости в плоскости параметров Kp и Tp
Рассчитаем области устойчивости с помощью D-разбиения в плоскости параметров Kp и Tp в программе DCOM пакета Matlab.
Характеристический полином замкнутой системы:
echo on
>> q = '[4 9 9+100*x*y 1+100*y]';
>> y = [-1:0.01:2];
>> x = [-1:0.01:1];
>> dcom(q, x, y)
Рис. 3.2.1. Области устойчивости в плоскости параметров Kp и Tp
Проверим по критерию Михайлова. Запишем характеристический полином как:
Из второго уравнения получим:
|
|
Линии совпадают с полученным посредством DCOM.
3. Построение линий равной степени устойчивости в плоскости параметров Kp и Tp
Построим линии равной степени устойчивости в плоскости параметров Kp и Tp с помощью программы RTANALTI в пакете MATLAB. Для этого необходимо создать M-файл (data.m), в котором будут заданы требуемые параметры, а затем запустить программу (rtanalti(‘data)).
Содержимое файла data_k.m в приложении.
Построенные линии равной степени устойчивости представлены на рисунке 3.3.1.
Построение линий равной степени устойчивости и степени колебательности производим с помощью программы Rtanalti в пакете Matlab. Эта программа позволяет построить интересующие нас линии по передаточной функции.
М-файл, подаваемый на вход Rtanalti, представлен в приложении.
Рис. 3.3.1. Линии равной степени устойчивости и колебательности
4. Для исследования чувствительности системы к изменению параметров построим переходные процессы еще для нескольких точек, отличных от оптимальной (будем считать оптимальным переходный процесс с минимальным временем и с перерегулированием, не превышающем 20%).
Показатели качества переходных процессов и значения степени устойчивоости и колебательности приведены ниже.
Рис. 3.4.1. Переходный процесс для следующих параметров
Текущие значения параметров системы:
Tp = 3.593275
Kp = 0.201389
Значение степени устойчивости: 0.269284
Значение степени колебательности: 5.020674
Рис. 3.4.2. Переходный процесс для следующих параметров
Текущие значения параметров системы:
Tp = 0.463557
Kp= 0.062500
|
|
Значение степени устойчивости: 0.382326
Значение степени колебательности: 3.006227
Рис. 3.4.3. Переходный процесс для следующих параметров
Текущие значения параметров системы:
Tp = 1.998915
Kp = 2.631944
Значение степени устойчивости: 0.497435
Значение степени колебательности: 15.305073
Из рисунков видно, что степень устойчивости влияет на время переходного процесса, а степень колебательности - на количество перерегулирований в течение переходного процесса.
Таким образом, можно сделать вывод, что разработчик может получить необходимое качество переходного процесса, просто варьируя данные параметры системы. По расстоянию между линиями равной степени устойчивости и колебательности можно судить о чувствительности системы к изменению параметров.
5. Построение фазового портрета нелинейной системы второго порядка, считая регулятор безынерционным звеном и полагая Wр(p)=1.
Передаточная функция линейной части системы: 
Рис. 3.5.1. Схема модели
Перепишем передаточную функцию и преобразим систему:
Система дифференциальных уравнений, задающих фазовый портрет нелинейной системы:
Построим фазовые траектории и передаточные характеристики в среде Matlab. Листинг программ приведен в приложении.
Результаты моделирования приведены на графиках.
Рис. 3.5.2. Теоретический фазовый портрет нелинейной системы
Рис. 3.5.3. Примерный вид переходного процесса