Можно легко обобщить полученные результаты на трехмерный ящик, поскольку механические движения в различных направлениях не влияют друг на друга не только в классической, но и в квантовой механике.
Волновая функция частицы в трехмерном ящике будет произведением трех одномерных функций:
F(x, y, z) = j(x) • j(y) • j(z) =
= [8/(LxLyLz)]1/2 sin[([(p nx / Lx) • x ] • sin[([(p ny / Ly) • y ] • sin[([(p nz / Lz) • z ].
Полная энергия частицы будет равна сумме трех энергий:
Е = Ex + Ey + Ez = [(p2h2)/2 m ] • [(nx / Lx)2 + (ny / Ly)2 + (nz / Lz)2 ]
Новизна заключается в появлении трех размеров (Lx, Ly, Lz) и трех квантовых чисел (nx, ny, nz), которые могут изменяться независимо друг от друга. Кроме того, энергия частицы в трехмерном ящике зависит не столько от конкретных размеров (Lx, Ly, Lz), сколько от их произведения, т.е. от объема ящика.
При совпадении некоторых размеров ящика может появиться дополнительное вырождение уровней энергии. Так, например, при условии Lx = Ly = Lz (кубический ящик), шесть состояний с квантовыми числами (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) и (3,2,1) будут иметь в точности одинаковую полную энергию.
Узловая структура трехмерной волновой функции будет характеризоваться наличием не точек, а целых узловых плоскостей, в любой точке которых волновая функция обращается в 0. Например, при движении вдоль координатной оси х всегда найдется (nx – 1) значение переменной х, в которых первый множитель волновой функции, т.е. j(x) будет обращаться в 0, независимо от того, каковы значения двух остальных переменных y и z. Ясно, что такие узловые плоскости расположены перпендикулярно оси х и разделяют весь трехмерный ящик на nх одинаковых отсеков. Например, при наборе квантовых чисел (nx, ny, nz) = (3, 2, 1) получим следующую картину: вдоль оси х волновая функция меняет знак 2 раза, вдоль оси y — 1 раз и вдоль оси z — ни разу.
Узловые плоскости разделяют ящик на малые ячейки. Внутри каждой ячейки волновая функция имеет один знак и изменяется единообразно: в центре ячейки значение функции максимально, а на стенках ячейки обращается в 0. По мере увеличения значений квантовых чисел ячейки становятся все меньше. В пределе неоднородности в распределении частицы по объему ящика становятся настолько мелкими и частыми, что детектор уже будет показывать только средние значения по множеству ячеек. Очевидно, что это среднее значение не будет зависеть от расположения детектора. При больших значениях квантовых чисел снова имеем переход к классическому результату — равномерному распределению частицы по объему ящика.
Влияние числа частиц в ящике
Если в одном ящике заперто несколько частиц, то такая система представляет собой термостат (по отношению к каждой отдельной частице). Полная энергия системы будет сохраняться постоянной, но поскольку частицы могут сталкиваться и обмениваться энергией, распределение энергии по отдельным частицам может быть различным — от полностью равномерного, до сосредоточения всей энергии на единственной частице. В результате, каждая частица будет пробегать все доступные ей состояния (такие, энергия которых не превышает полной энергии всей системы), с вероятностями тем большими, чем меньше энергия состояния. Другими словами, на самим низшем уровне будет находиться, в среднем, наибольшее число частиц. Математически распределение частиц по уровням энергии будет описываться функцией Больцмана:
Р (Ei) ~ e – Ei / kT
В том случае, когда частицы неразличимы, наблюдаются квантовые статистические особенности в их поведении: ферми-частицы будут рассредотачиваться по разным уровням, а бозе-частицы будут концентрироваться вблизи одного уровня.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение понятия "потенциальная яма". Перечислите основные разновидности потенциальных ям.
2. Дайте определение понятия "потенциальный ящик". Какими параметрами характеризуется потенциальный ящик?
3. Какой тип движения характерен для частицы в потенциальном ящике? Какие величины характеризуют стационарное состояние частицы для этого вида движения?
4. Постройте вид энергетической и импульсной диаграммы для частицы в потенциальном ящике. Как повлияет изменение параметров модели (размерность модели, размеры ящика, наклон стенок, масса частицы) на вид этих диаграмм?
5. Дайте определение понятия "адиабатичность".
6. Каково влияние граничных условий на возможные стационарные состояния частицы в потенциальном ящике?
7. Укажите основные отличия классического описания частицы в ящике от квантово-механического.
8. Как влияют на характеристики модели такие параметры, как: форма ящика, размерность и размеры ящика, масса частицы, число частиц?
9. Для описания каких типов реальных объектов может быть использована модель частицы в потенциальном ящике?
Типовые задачи
1. В изолированном потенциальном ящике с размерами Lх, Ly, Lz находится атом гелия-4. в стационарном состоянии с квантовыми числами nx, ny, nz.
а) Рассчитать энергию частицы и модуль ее импульса.
б) Рассчитать работу, которую необходимо совершить, чтобы разделить ящик пополам перегородкой, ориентированной перпендикулярно осям х, y, z. Процесс считать адиабатическим (без квантовых скачков).
в) Изобразить узловую структуру волновой функции.
Список рекомендуемой литературы
Введение в квантовую химию (под ред. С. Накагура). М.: Мир, 1982.
Заградник Р., Полак Р. Основы квантовой химии. М.: Мир, 1979.
Мелешина А.М. Курс квантовой механики для химиков. М.: ВШ, 1980.
Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев Р.М. Теория строения молекул. Ростов на Дону.: Феникс, 1997.
Симкин Б.Я., и др. Задачи по теории строения молекул. Ростов на Дону.: Феникс, 1997.
Суханов А.Д. Лекции по квантовой физике. М.: ВШ, 1991.
Шпольский Э.В. Атомная физика. Т. 1 и 2. М.: Наука, 1984.
Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967. Т. 8, 9.
Хабердитцл В. Строение материи и химическая связь. М.: Мир, 1974.
Хедвиг П. Прикладная квантовая химия. М.: Мир, 1977.
Эрдеи-Груз Т. Основы строения материи. М.: Мир, 1976.