ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1. Определить момент инерции крестообразного маятника без дополнительных грузов.
2. Проверить основное уравнение динамики вращательного движения.
3. Изучить зависимость момента инерции крестообразного маятника от положения грузов на стержнях.
ПРИБОРЫИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:
Маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, набор грузов, вертикальный масштаб.
ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИ
Вращательное движение является одним из простейших видов движения твердого тела. Различают 2 вида вращательного движения:
1) вращательное движение вокруг неподвижной оси;
2) вращательное движение вокруг неподвижной точки.
Вращательным движением вокруг неподвижной оси называется движение, при котором все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, перпендикулярной плоскости этих окружностей, называемой осью вращения.
Вращательным движением вокруг неподвижной точки называется движение, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических (замкнутых) сфер с центром в неподвижной точке.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все частицы тела совершают плоское движение, причем линейные скорости 
и ускорения частиц вообще различны. Угловая скорость вращения 
для всех частиц тела будет одинакова и определяется выражением
, 
=рад/с (1)
где 
- есть первая производная от угла поворота по времени.
Рис. 1
|
Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта: вращая винт по направлению вращения твердого тела (т.т.) или материальной точки (м.т.), поступательное движение винта указывает на направление 
(рис.1). Если угловая скорость вращения изменяется во времени, то ее изменение можно характеризовать угловым ускорением
|
|
, 
рад/с2 (2)
где 
- есть первая производная от угловой скорости по времени.
Направление 
совпадает с направлением 
, если движение ускоренное, и противоположно, если движение замедленное.
Для заданного вращающегося тела угловое ускорение определяется действием суммы моментов сил. Моментом сил называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора 
на вектор действующей силы 
.
|
| Рис. 2 |
, (3)
Н×м.
Направление вектора момента сил 
определяется по правилу векторного произведения (правилу правого винта): вращая винт от первого вектора 
ко второму 
, поступательное движение винта указывает на направление вектора 
.
Модуль вектора определяется как
(4)
и численно равен площади заштрихованной фигуры (рис. 2). Учитывая, что 
, можно записать
, (5)
где 
- плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки 
, относительно которой происходит вращение, до линии действия силы 
.
|
| Рис. 3 |
При рассмотрении момента сил относительно оси 
необходимо спроектировать векторное произведение 
на эту ось, т.е.
. (6)
Из рис. 3 видно, что момент силы создается лишь силой 
(силой, параллельной оси 
), момент силы 
равен нулю.
Для нахождения связи между угловым ускорением 
и моментом сил 
, действующих на него, рассмотрим движение одной какой-то частицы вращающегося тела (рис.4).
|
| Рис. 4 |
Пусть частица с массой 
находится на расстоянии 
от оси вращения 
. На частицу могут действовать как внутренние, так и внешние силы. Внешние силы приложены со стороны других тел, а внутренние – со стороны частей того же самого тела.
|
|
Обозначим проекцию суммы внутренних сил, действующих на , на направление, перпендикулярное к , как 
, а проекцию суммы внешних сил как 
. Тогда, применяя 2-ой закон Ньютона к каждой точке вращающегося тела, можно записать:
, (7)
где 
– линейное ускорение точки.
Если умножить выражение (7) на и учесть, что 
, то получим:
, (8)
где 
- проекция углового ускорения на ось OZ.
Величина 
,численно равная произведению массы на квадрат расстояния от оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси вращения.
Величины 
и 
определяют моменты внутренних и внешних сил, действующих на 
-ю точку.
Уравнения типа (7) и (8) можно записать и для остальных точек тела. Суммируя выражение (8) по всем элементам тела, получим:
, (9)
где 
- сумма проекций на ось 
всех внутренних моментов сил (
, т.к. каждая внутренняя сила имеет равную и противоположную себе силу, приложенную к другой частице тела с тем же самым плечом); 
- сумма проекций на ось 
всех внешних моментов сил, приложенных к телу; 
- момент инерции твердого тела относительно оси вращения , равный сумме моментов инерции отдельных элементов тела (
кг×м2).
Использовав все обозначения, получим:
, (10)
откуда
(11)
- основной закон динамики вращательного движения.
В векторном виде этот закон может быть записан:
. (12)
то есть угловое ускорение пропорционально действующему внешнему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции твердого тела относительно оси вращения.
|
|
Этот закон аналогичен закону динамики для поступательного движения:
, (13)
где 
- линейное ускорение; 
- сумма всех внешних сил; 
- сумма всех элементарных масс.
Используя аналогию, можно сделать вывод о том, что момент инерции 
при вращательном движении играет такую же роль, как и масса 
при поступательном движении, т.е. момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Проверка основного закона вращательного движения производится на приборе, называемом маятником Обербека (рис. 5).
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Маятник Обербека состоит из вала 
диаметром 
, к которому прикреплены 4 одинаковых стержня 
, расположенных под углом 900 друг к другу (рис. 5). На каждом стержне закрепляется по одному грузу одинаковой массы 
. Благодаря возможности фиксировать данные грузы на различных расстояниях от оси вращения это позволяет изменять момент инерции маятника Обербека. На вал наматывается нить, к концу которой прикрепляется груз массой 
(значение можно менять). Под действием груза нить, разматываясь с вала А, приводит всю систему во вращательное движение.
|
| Рис. 5 |
В применении к маятнику Обербека экспериментально определим основные величины, входящие в уравнение (11).
Угловое ускорение. Пусть 
- высота падения груза массой , прикрепленного к концу нити, 
- время падения груза. Тогда линейное ускорение груза определяется из уравнения кинематики 
, как
. (14)
С таким же линейным ускорением движутся точки вала , находящиеся на расстоянии 
от оси вращения. Используя связь между линейным и угловым ускорениями
(15)
и учитывая, что 
=1, получим
; 
. (16)
Следовательно,
. (17)
Момент сил. Вращающий момент системы создается силой упругости нити (силой натяжения нити 
).
.
Учитывая, что 
и 
, имеем
, (18)
где 
- сила натяжения нити; 
- радиус действия силы, совпадающий с радиусом валика 
.
Натяжение нити можно определить так. Запишем 2-ой закон Ньютона для падающего груза:
. (19)
Учитывая выбранное направление 
(рис. 5), выражение (19) можно записать в виде:
,
откуда
,
а момент сил равен
. (20)
Момент инерции. Так как момент инерции – величина аддитивная, то полный момент инерции системы равен:
. (21)
Если составляющие маятник части являются геометрически правильными и простыми по своей форме, то все три составляющие можно рассчитать теоретически. В настоящей конструкции прибора такой расчет для 
(стержня) и 
(валика) несколько затруднен. Поэтому теоретически рассчитывается только 
(цилиндра). По теореме Штейнера для четырех цилиндров момент инерции равен:
, (22)
где 
- масса одного цилиндра; 
- расстояние от оси вращения до центра масс цилиндра; 
- длина цилиндра (рис. 5).
Момент инерции системы будет равен
. (23)
Значение 
можно определить опытным путем. Для этого со стержней маятника снимаются 4 цилиндра и система приводится во вращательное движение под действием груза массой 
. Момент инерции равен
. (24)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Определить момент инерции .
1. Снять со стержней маятника цилиндрические грузы.
2. Измерить диаметр 
вала штангенциркулем и определить 
.
3. Определить массу груза, подвешенного к нити, которая наматывается на вал.
4. Предоставить возможность грузу падать и зафиксировать время 
падения груза с высоты 
( измеряется с помощью вертикального масштаба).
Измерения нужно выполнить несколько раз (не менее трех), оставляя высоту падения постоянной. Данные занести в таблицу 1.
5. По формулам 14, 17, 20, 24 рассчитать линейное ускорение 
, угловое ускорение 
, момент сил 
, момент инерции и результаты занести в табл. 1 для двух различных падающих масс 
и 
.
Таблица 1
| , кг
| 
| , м
|  , м
| , с
| ,
м/с2
|  ,
рад/с2
| ,
Н×м
| ,
кг×м2
| ∆ , кг×м2
| σ, кг×м2 |
|
| ||||||||||
| средние значения | ||||||||||
|
| ||||||||||
| среднее значение |
Изменяя массу подвешенного к нити груза, можно изменить силу натяжения нити, а, следовательно, и момент сил. Однако момент инерции маятника не должен зависеть от изменения этих внешних воздействий, и с учетом погрешностей момент инерции должен принимать одинаковые значения. Это дает возможность найти среднее значение 
.
6. Оценить погрешность измерений
7. Записать конечный результат в виде J0=J0ср±2σ.
ЗАДАНИЕ 2. Проверка основного закона динамики вращательного движения. Проверка соотношения
(26)
при 
.
Для проверки этого соотношения можно воспользоваться данными из табл. 1. Найдем отношения 
, 
и сравним их между собой. Должно выполняться равенство (26).
ЗАДАНИЕ 3. Изучение зависимости момента инерции крестообразного маятника от положения грузов на стержнях, т.е. от распределения его массы по отношению к оси вращения. Проверка соотношения
(27)
при 
.
1. Надеть на стержни цилиндрические грузы и расположить их на определенном расстоянии 
от оси вращения. После закрепления грузов необходимо убедиться в том, что маятник достаточно сбалансирован, т.е. привести его в состояние безразличного равновесия путем перемещая грузов на стержнях на небольшие расстояния.
2. Подвесить груз массой 1 и провести все измерения, необходимые для определения момента инерции маятника (см. табл. 1).
3. Рассчитать по формуле (17) угловое ускорение 
и по формуле (24) момент инерции 
маятника с цилиндрами массой (все измерения производить в соответствии с заданием 1, но только лишь с одной падающей массой ).
5. Измерив 
и 
(время падения груза массой 
), рассчитать по формуле (17) угловое ускорение 
.
Расположив цилиндрические грузы на другом расстоянии 
от оси вращения , провести аналогичные измерения.
6. По формуле (17) рассчитать угловое ускорение 
(если 
, то необходимо только зафиксировать время 
падения груза массой 
).
Полученные данные занести в таблицу 2.
Таблица 2
При 
| ||||||||||
 , кг
| 
| , м
|  , м
|  , с
|  ,
м/с2
|  ,
рад/с2
|  ,
|  ,
| ∆  ,
| σ,
|
| Средние значения | ||||||||||
При 
| ||||||||||
| , кг
|
| , м
| , м
| , с
| ,
м/с2
| ,
рад/с2
| ,
| ,
| ∆ ,
| σ,
|
| Средние значения |
7. Оценить погрешность измерений и запишите результаты в виде
J1=J1ср±2σ.
J2=J2ср±2σ.
8. Найти отношения 
и 
и проверить справедливость соотношения (27).
9. Сравнивая значения 
и 
, сделать вывод о том, как момент инерции маятника зависит от распределения его массы по отношению к оси вращения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Проверьте аналогию между величинами, характеризующими поступательное и вращательное движение, составив таблицу соответствия
Примечание: 1) таблица заполняется обязательно при оформлении отчета;
2) необходимо знать определение направления векторных величин.
2. Между какими величинами устанавливает связь основной закон динамики вращательного движения? Сформулируйте его.
3. Как определяется величина и направление моментов сил? В каких единицах измеряется эта величина?
4. От чего зависит момент инерции 
, в каких единицах измеряется? Как понимать, что момент инерции величина аддитивная? Из чего состоит момент инерции маятника Обербека?
5. Сделайте вывод формулы момента инерции цилиндра относительно оси, совпадающей с его осью симметрии.
6. Сформулируйте теорему Штейнера. Для чего она используется в работе?
7. Опираясь на схему установки, получите формулу, с помощью которой рассчитывали момент инерции маятника (24).
8. В ходе каких измерений мы убедились в зависимости момента инерции маятника от расстояния, на котором располагаются цилиндры относительно оси вращения и массы маятника?
9. В ходе каких измерений мы убедились в независимости момента инерции маятника от сил, приводящих в его вращению?