Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.
Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.
Этап 1.
Сначала на координатной плоскости x1Ox2 строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:
| (1.31) |
Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут получится.
1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 3а)).
2. Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 3.б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение 
. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.
|
|
|
Наконец, возможен случай, когда неравенства (1.31) противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.
Рассмотрим теорию на конкретном примере:
Найти допустимую область задачи линейного программирования, определяемую ограничениями
| (1.32) |
Решение:
1. Рассмотрим прямую 
. При 
, а при 
. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря 
получим, что -0+0
|
Рассмотрим прямую 
. Будем увеличивать L. Что будет происходить с нашей прямой?
Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором 
, так как это - вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции 
.
А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу
Oграничения задачи вырезают на плоскости некоторый многоугольник. Пусть при некотором L прямая пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных 
, которые являются планами.
Этап 3
Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться (см. рис. 7). В конце концов эта прямая выйдет награницу допустимой области - как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение
|
прямой с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой , при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.
1.4 Примеры задач, решаемых графическим методом.
Пример:
Решить задачу
| (1.41) |
Решение
Допустимую область мы уже строили - она изображена на рис. 5.
Повторим еще раз этот рисунок, оставив только допустимую область и нарисовав дополнительно прямые (см. рис. 8).
|
Пусть, например, L=2. Тогда прямая 
проходит через точки (2,0) и (0,1) и изображена на рис. 8. Будем теперь увеличивать L. Тогда прямая начнёт двигаться параллельно самой себе в направлении, указанном стрелкой. Легко догадаться, что максимальное значение L получится тогда, когда прямая пройдет через вершину многоугольника, указанную на рисунке, и дальнейшее увеличение L приведет к тому, что прямая выйдет за пределы многоугольника и её пересечение с допустимой областью будет пустым.
Выделенная вершина лежит на пересечении прямых
и поэтому имеет координаты 
. Это и есть решение нашей задачи, т.е. есть оптимальный план задачи (1.41). При этом значение целевой функции 
, что и дает её максимальное значение.
Обратите внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. И лишь в том случае, когда прямая случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль.
|
Ну, а если допустимая область неограничена, то и значение целевой функции может быть неограниченным.
Подводя итог этим примерам, можно сформулировать следующие положения:
1. допустимая область - это выпуклый многоугольник;
2. оптимум достигается в вершине допустимой области (если допустимая область ограничена и не пуста);
3. ограниченность целевой функции в допустимой области является необходимым и достаточным условием решения задачи