Информационное наполнение системы

Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

Введение

Исследование является экспериментом, если входные переменные изменяются исследователем в точно учитываемых условиях, позволяя управлять ходом опытов и воссоздавать их результаты каждый раз при повторении с точностью до случайных ошибок.

Планирование и анализ эксперимента представляет собой важную ветвь статистических методов, разработанную для решения разнообразных задач, возникающих перед исследователями. В одном случае необходимо обнаружить и проверить причинную связь между входными переменными (факторами) и выходными переменными (откликами), в другом – отыскать оптимальные условия ведения процесса или сравнить изучаемые объекты и т.д.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Для экспериментаторов, которые не занимаются планированием многофакторного эксперимента, наиболее привычным методом исследования является однофакторный эксперимент. Он заключается в том, что варьируется один фактор на нескольких уровнях, а все другие факторы поддерживаются постоянными. В этом случае можно получить количественную оценку эффекта только одного фактора.

Влияние других факторов оценить нельзя. Выводы о влиянии изучаемого фактора могут существенно различаться в зависимости от уровня фиксирования прочих факторов. Это часто приводит к ошибочным рекомендациям. Лишь в тех случаях, когда отклик является функцией одного фактора, однофакторный эксперимент вполне закономерен.

Однако на практике приходится иметь дело с многофакторными объектами, где однофакторный эксперимент неэффективен.

В многофакторных планах одновременно варьируется несколько факторов, а не каждый в отдельности.

План должен быть составлен так, чтобы при статистической обработке имелась возможность хорошо проанализировать эксперимент: проверить: существуют ли эффекты изучаемых факторов, определить величину этих эффектов (не увидеть несуществующие и не "проглядеть" действительные эффекты), найти наименьший значимый эффект и т.д. Оценки эффектов факторов можно считать достоверными только тогда, когда ни неоднородность экспериментальных единиц, ни другие неучтенные факторы не в состоянии привести к полученному результату.

В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации. Здесь осуществляется оптимальное управление ведением эксперимента, в зависимости от характера изучаемого объекта и целей исследования обоснованно выбираются тип планирование эксперимента, метод обработки данных. К различным типам эксперимента относятся: экстремальный, отсеивающий, сравнительный, описательный и другие виды.

Планирование многофакторных экспериментов – новый подход к организации и проведению экстремальных исследований сложных систем. Цель планирования эксперимента – извлечение максимума информации при заданных затратах на эксперимент либо минимизация затрат при получении информации, достаточной для решения задач. Планирование эксперимента позволяет соразмерить число опытов поставленной задаче.

Информационное наполнение системы

Планирование многофакторных экспериментов с сокращением перебора вариантов является мощным средством повышения эффективности исследований и уменьшения затрат времени и средств на эксперимент. Приведем пример плана 27-4 для семи факторов, каждый из которых изменяется на двух уровнях, кодируемых +1 и -1.

 

Номер опыта	X0	X1	X2	X3	X4 (X1X2)	X5 (X1X3)	X6 (X2X3)	X7 (X1X2X3)
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Таблица 1. Дробный факторный план 2^7-4*

 

По сравнению с полным перебором этот план сокращает число опытов в 16 раз. Если бы ставился полный факторный эксперимент, то это потребовало бы N = 2⁷ = 128 опытов; а в данном плане N = 8.

Несмотря на малое число опытов, такой дробный факторный план обладает следующими свойствами:

• Симметричностью относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца для каждого фактора равна 0, j – номер фактора (j = 1,2…k), i- номер опыта.

• Ортогональностью любых двух векторов-столбцов плана: сумма почленных произведений их элементов равна нулю.

• Нормировкой: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.

Этот план позволяет получить оценки b – коэффициентов модели. Условие ортогональности обеспечивает независимость оценок коэффициентов. Если опыты выполняются произвольным образом, не по ортогональному плану, то оценки закореллированы. Это усложняет интерпретацию математической модели и не позволяет получить надежные рекомендации по отысканию области оптимума. Ортогональность обеспечивает хорошие статистические свойства оценок и приводит к простой формуле расчета b-коэффициентов:

Планирование эксперимента в STATISTICA

Задачу составления многофакторного плана можно легко решить в модуле Планирование эксперимента системы STATISTICA. Для этого:

• Запускаем модуль Планирование эксперимента.

• Выбираем раздел Дробные 2**(k-p) факторные планы.

• Число факторов/блоков/опытов 7/1/8.

• В результате получаем нужный нам план.

 

Легко убедиться, что полученная электронная таблица – многофакторный 2^(7-4) план - ничем не отличается от приведенного ранее.

6.2. Основы планирования многофакторного эксперимента

Как уже отмечалось в первой главе, в общем случае объект исследования можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис.6.1.

Рис.6.1

Представление объекта в виде такой схемы основано на принципе «черного ящика». Имеем следующие группы параметров:

1) управляющие (входные) , которые называются факторами;

2) выходные параметры , которые называются параметрами состояния;

3) - возмущающие воздействия.

Предполагается, что возмущающие воздействия не поддаются контролю и либо являются случайными, либо меняются во времени.

Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента.

Комбинацию факторов можно представить как точку в многомерном пространстве, характеризующую состояние системы.

На практике целью многофакторного эксперимента является установление зависимости

, (6.2.1)

описывающей поведение объекта. Чаще всего функция (6.2.1) строится в виде полинома

(6.2.2)

или

. (6.2.3)

Целью эксперимента может быть, например, построение зависимости (6.2.1) при минимальном количестве измерений значений управляющих параметров .

На первом этапе планирования эксперимента необходимо выбрать область определения факторов . Выбор этой области производится исходя из априорной информации. Значения называются уровнями управляющего параметра.

Если выбрана линейная модель (6.2.2), то для построения аппроксимирующей функции достаточно выбрать основной уровень и интервал варьирования управляющего параметра .

Для линейной модели интервал варьирования можно определить как

,

а основной (нулевой) уровень - как среднее значение

 

.

 

Для упрощения планирования эксперимента принято вместо реальных (натуральных) уровней использовать кодированные значения факторов. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать при помощи следующего преобразования

,

где - натуральное значение фактора; - интервал варьирования; - основной уровень; - кодированное значение. В результате принимает значения на границах , на основном уровне . Основная проблема состоит в выборе области варьирования, поскольку эта задача является неформализованной.

Рассмотрим полный факторный эксперимент на примере линейной модели (6.2.2). Если число факторов , то для проведения полного факторного эксперимента нужно опытов, где 2 - число уровней, которого достаточно для построения линейной модели.

Условие проведения этого эксперимента можно зафиксировать в матрице планирования (табл.5.3).

Таблица 6.3

Номер опыта
	-1	-1
	+1	-1
	-1	+1
	+1	+1

Таким образом, для двух факторов построение матрицы планирования элементарно. Для большего числа факторов необходимо разработать правила построения таких матриц. Например, при появлении фактора в табл.6.3 произойдут следующие изменения (табл.6.4): при появлении нового столбца каждая комбинация уровней исходной таблицы проявится дважды.

 

Таблица 6.4

Номер опыта
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	+1
	-1	-1	-1
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1

Это не единственный способ расширения матрицы планирования. Используют также перемножение столбцов, правило чередования знаков.

Очень важны общие свойства матрицы планирования:

1) симметричность матрицы относительно центра эксперимента: . Тогда .

2) условие нормировки , то есть сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.

Первые два свойства относятся к построению отдельных столбцов матрицы

3) совокупность столбцов имеет следующее свойство , где .

4) Ротатабельность. Это означает, что точки (значения факторов) в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания выходного параметра должна быть одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (нулевого уровня) и не зависеть от направления.

Планирование эксперимента первого порядка для двух переменных. План эксперимента первого порядка для двух переменных показан на рис.6.2. То есть искомая функция описывается модельно в виде плоскости

(6.2.4)

или гиперболоида

. (6.2.5)

Расположение этой модели в пространстве показано на рис.6.2 поверхностью, проходящей через точки 1 – 2 – 3 – 4.

 

Рис.6.2

Необходимые уровни для полного факторного эксперимента расположены в плоскости . Для модели в виде гиперболоида этот план является предельно экономным. Для построения гиперболоида необходимо определить четыре коэффициента в модели (6.2.5). Это можно сделать, решая систему из четырех уравнений. Следовательно, необходимы все четыре опыта. В теории планирования эксперимента используется термин насыщенности.

Если рассматривать модель (6.2.4) в виде плоскости, то план эксперимента является ненасыщенным (избыточным), так как необходимо определить только три коэффициента , и . В случае модели (6.2.5) (насыщенный эксперимент) решение системы единственно, и поверхность гиперболоида пройдет через все четыре экспериментальных значения . Следствием этого является то, что насыщенный эксперимент не позволяет усреднить случайные погрешности и не дает сведения об их размере.

Для ненасыщенного плана (6.2.4) избыточное число опытов позволяет произвести усреднение и оценить размеры погрешности. Проведя плоскость через точки 1, 2 и 3, можно оценить погрешность, определив, на каком расстоянии от плоскости находится точка 4. Оценка Погрешность в других точках может быть оценена проведением плоскостей 1 – 3 – 4, 1 – 2 – 4 и 2 – 3 – 4. С другой стороны коэффициент наклона поверхности к оси может быть найден как из наклона прямой 1 – 2, так и из наклона прямой 3 – 4. Аналогично коэффициент при можно определить из наклона прямых 1 – 3 и 2 – 4.

Поскольку полученные таким образом значения и могут отличаться, ненасыщенный эксперимент позволяет провести их усреднение и оценить погрешность.

Если уравнение плоскости представить в виде

, (6.2.6)

где ; , то мы переносим начало координат в точку с координатами . Тогда коэффициент находится усреднением всех четырех значений как высота центра плоскости 1 – 2 – 3 – 4.

Процесс переноса начало координат в центр пространства факторов с координатами очень важен при обработке данных любых экспериментов, описываемых моделью в виде гиперплоскости, так как позволяет получить более устойчивое усредненное значение для .

Важнейшим фактором является то, что в результате такого усреднения построенная плоскость удовлетворяет всем четырем значениям лишь в среднем. В любой точке может быть найдена погрешность отклонения экспериментальных данных относительно модели, и по этим четырем отклонениям можно вычислить СКО.

Таким образом, один из четырех опытов является избыточным и может быть исключен. Но тогда план эксперимента становится неротатабельным, то есть неравноточным по всем направлениям. Если исключена точка 4 на рис.6.2, то в направлении 3 – 2 в плоскости факторов будет обеспечена большая точность, чем в направлении 1 - 0. В этом случае для восстановления ротатабельности точки 1, 2 и 3 в плоскости факторов должны быть равноудалены как друг от друга, так и от центра, то есть располагаться в вершинах равностороннего треугольника с центром в точке 0. В общем случае для линейной модели (6.2.4), эксперимент содержащий конечное число опытов позволяет получить только оценки для коэффициентов , и . Подставив в уравнение модели (6.2.4) известные значения факторов и результаты опытов получим систему линейных алгебраических уравнений для определения . Если количество этих уравнений больше трех, то значения оценок , и могут быть получены при помощи МНК:

, (6.2.7)

где - количество опытов. Здесь учтено, что принимают значения -1,+1.

Для вычисления коэффициентов линейной модели по формуле (6.2.7) получим:

,

Таким образом, для вычисления и можно использовать (6.2.8). Для определения в формуле (6.2.4) найдем среднее значение , равное , где , .

В случае симметричности матрицы планирования , откуда . Чтобы коэффициент модели вычислялся по единой формуле (6.2.7) в матрице планирования вводят фиктивную переменную , которая принимает значение во всех опытах и соответствует коэффициенту . Коэффициент при независимых переменных указывает на силу влияния факторов: чем больше значение имеет коэффициент , тем большее влияние оказывает соответствующий фактор. В этом смысле результат планирования эксперимента алогичны факторному анализу. Для пассивных экспериментов факторный анализ может использоваться в качестве априорных данных при планировании.

Планируя эксперимент, стремятся получить линейную модель, однако в выбранных интервалах варьирования априори не известно, что линейная модель адекватно описывает поведение системы.

Нелинейность связана со смешанным взаимодействием. Формула (6.2.5) всегда может быть оценена по полному факторному эксперименту. Для полного факторного эксперимента матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия приведена в табл.6.5.

Таблица 6.5

Номер опыта
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1

 

В этом случае коэффициент также может быть вычислен по формуле (6.2.7):

. (6.2.7)

Столбцы , задают планирование эксперимента – по ним определяют результаты опыта; столбцы , служат только для расчета.

С ростом числа факторов число возможных взаимодействий возрастает. Например, для факторного эксперимента кроме , , , в матрице планирования появляются столбцы , , , . Всего в матрице планирования оказывается восемь столбцов, следовательно, необходимо определять восемь коэффициентов. Все восемь коэффициентов необходимо определять в том случае, если учитывать смешанное взаимодействие. Если же модель задается в виде гиперплоскости (линейная модель), то достаточно определить четыре коэффициента: , , , . Полный факторный эксперимент оказывается избыточным и у экспериментатора возникает выбор:

1. Построить гиперплоскость по четырем экспериментам, а остальные четыре опыта использовать для оценки погрешности.

2. Провести эксперимент, состоящий из 4-х опытов, то есть реализовать экономный план эксперимента.

Таким образом, в отличие от модели гиперболоида, которая требует определение неизвестных коэффициентов, модель гиперплоскости, содержит коэффициент и требует соответствующего числа опытов, то есть полный факторный план (ПФП) для модели гиперплоскости сильно избыточен.

Для построения гиперплоскости, следовательно, достаточно использовать лишь некоторую часть из ПФП. Эту часть в теории планирования эксперимента называют дробной репликой или дробным факторным планом (ДФП). Если дробление ПФП производится последовательным делением числа опытов на 2, то реплику называют регулярной. Число последовательного деления называют дробностью реплики.

Число опытов регулярного ДФП равняется . При ДФП называют полурепликой (или 1/2 реплика), при – 1/4 реплика и т.д.

Соответствующее число опытов и параметров планирования приведены в таблице 6.6.

Таблица 6.6

Число факторов,	Число коэфф. модели,	Число опытов ПФП	Вид плана	Число опытов плана	Избыточность
			ПФП
			Полуреплика
			Полуреплика
			Четвертьреплика
			1/8 реплика
			1/16 реплика
			1/16 реплика

 

Для составления планов-таблиц регулярных дробных реплик часто используют так называемое правило двоичного кода. Оно гласит, что для модели в виде гиперболоида знаки “+” и “–“ в столбцах плана должны чередоваться по правилу чередования двоичных чисел в разряде двоичного кода, то есть в столбце - через 1, в столбце - через 2, в столбце - через 4, в столбце - через .

Проведение экспериментов и обработка результатов. Так как эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности обрабатываемых данных, то расстановка повторных или параллельных опытов не дает полностью совпадающих результатов. Получаемая погрешность (воспроизводимости) оценивается стандартными методами усреднения, то есть

,

где – число параллельных опытов.

В этом случае дисперсия равна

. (6.2.8)

Если учесть, что матрица планирования состоит из серии опытов, то оценка дисперсии всего эксперимента получается в результате усреднения дисперсии всех опытов. В этом случае говорят о дисперсии воспроизводимости не одного опыта, а эксперимента в целом. Такая дисперсия равна

, (6.2.9)

где – число различных опытов (число элементов в матрице планирования); – число повторных опытов.

Формула (6.2.9) справедлива, если соблюдается равенство числа повторных опытов во всех экспериментальных точках матрицы планирования. На практике в разных точках бывает выполнено разное число опытов. В этом случае для оценки дисперсии воспроизводимости пользуются средневзвешенным значением

, (6.2.10)

где – оценка дисперсии -го опыта, – число степеней свободы в -ом опыте; это число рассчитывают как (число параллельных опытов минус 1).

Назад | Содержание | Вперед

Методические указания к лабораторным и практическим работам по курсу «Основы технического творчества»

Работа № 1 Формы обучения и система организации технического творчества студентов инженерной специальности.

РАБОТА № 2 Планирование и проведение многофакторного эксперимента при проверке технических решений.

РАБОТА №3 «Математическая обработка результатов экспериментальной проверки технических решений»

РАБОТА № 4 «Средства измерений при проверке технических решений»
Цель работы: Изучить измерительные приборы, установки, электрические измерения механических величин при проверке технических решений

ВВЕДЕНИЕ

Повышение уровня подготовки специалистов требует творческого подхода к овладению знаниями, участия в настоящем научном исследовании. Творчество – это самодеятельность субъекта с постановкой или выбором задачи, поиском условий и способа ее решения и созданием нового. Оно подразделяется на техническое, научно-техническое и научное. Серьезная творческая работа формирует нужные качества будущих специалистов, раскрывает новые пути в науке. Наука – это динамическая система объективно истинных знаний, получаемых специальной деятельностью людей и превращаемых в непосредственную производительную силу общества. Цель науки состоит в познании законов развития природы и общества, в правильном воздействии на природу на основе использования знаний для получения полезных обществу результатов. Необходимость творческого подхода в системе образования заставляет науку развиваться более быстрыми темпами, чем любую другую отрасль деятельности. Творческий подход непосредственно сказывается на развитии высшей школы. Он предъявляет новые возросшие требования к знаниям студентов, их творческому развитию, умению находить наиболее рациональные конструкции, технологические решения. Создание в высшей школе творческой атмосферы позволяет готовить специалистов на уровне современных требований.
В настоящее время, когда развитие механизации сельскохозяйственного производства требует новых подходов и технических решений, молодые специалисты должны овладеть новейшими знаниями в области технического творчества. Это обязывает высшую школу обучать студентов методики проведения научных исследований. Современное сельскохозяйственное производство требует от специалиста умения самостоятельно ставить и решать различные принципиально новые вопросы. Поэтому творческая подготовка в ВУЗах должна быть одной из важнейших сторон обучения.
Настоящий сборник заданий и методических указаний к лабораторным и практическим работам по курсу «Основы технического творчества» вводит будущих специалистов по механизации сельскохозяйственного производства в основы технического творчества и научного поиска. В заданиях приведены основные вопросы, подлежащие изучению по конкретным темам. В методических указаниях к каждому заданию изложен материал, раскрывающий данную тему. Изложение материала подкрепляется примерами творческих решений по механизации сельскохозяйственного производства. Сборник охватывает и освещает основной комплекс вопросов по курсу «Основы технического творчества».

Работа № 1
Тема: Формы обучения и система организации технического творчества студентов инженерной специальности.

Цель работы: Изучить форму и систему организации технического творчества студентов механического факультета.

З А Д А Н И Е

Изучить:
1. Основные направления технического творчества студентов на кафедрах механического факультета.
2. Систему и формы технического творчества студентов.
3. Комплексный план организации технического творчества на весь период обучения студентов механического факультета.
4. Влияние технического творчества на формирование личных качеств студента как будущего специалиста.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Квалификационная модель инженера.
2. Система организации технического творчества студентов инженерной специальности.
3. Формы обучения студентов техническому творчеству.
4. Комплексный план организации технического творчества на весь период обучения студентов по специальности «Механизация сельского хозяйства».

ЛИТЕРАТУРА
1. Чус А.В., Данченко В.Н. Основы технического творчества. - Киев: Донецк: Вища школа, 1983.-184 с.
2. Альтшуллер Г.С. Поиск новых идей: от оформления к технологии. Кишинев, 1989.-231 с.
3. Бабицкий Л.Ф. и др. Основы научных исследований. - Киев: Издательство НАУ, 1999.- 228 с.
4. Бабицкий Л.Ф. Біонічні напрями розробки грунтообробних машин. К: Урожай, 1998. – 164 с.
5. Василенко П.М., Погорелый Л.В. Основы научных исследований. Механизация сельского хозяйства. – К: Вища школа, 1985. – 266 с.
6. Завалишин Ф.С., Мацнев М.Г. Методы исследований по механизации сельскохозяйственного производства. - М: Колос, 1982.-231 с.
7. Основы научных исследований. Под ред. В.И. Крутова, В.В. Попова, Вища школа, 1989. - 400 с.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к работе № 1

Формы обучения и система организации технического творчества
студентов инженерной специальности

ВВЕДЕНИЕ
Каждый современный специалист должен не только иметь необходимую сумму фундаментальных и специальных знаний, но и овладеть навыками творческого решения практических вопросов, умением использовать в своей практической работе все то новое, что появляется в науке и практике. Все эти качества воспитываются в ВУЗе через активное участие студентов в творческой работе.
Принципиальной особенностью творческой работы в высшей школе является ее тесная связь с учебным процессом. Широкое участие студентов в научной работе, введение элементов исследовательской деятельности в различные формы учебных занятий является наиболее эффективным путем преодоления противоречия между массовым характером подготовки в ВУЗе и потребностями развития у каждого студента самостоятельности и инициативы, индивидуального почерка и творческих способностей. Научное творчество затраг