Четырёхугольники и многоугольники. Уровень 1.

Простейшие задачи на повторение основных планиметрических фактов.

1. Найти синус острого угла параллелограмма, если длины его высот равны 3 и 4, а периметр равен 28.

2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если основания трапеции равны a и b.

3. Периметр параллелограмма равен 90, острый угол – 60^о. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.

4. Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой основания имеют длины 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD на сторону ВС, делит ее на отрезки ВН = 12 и НС = 33. Определить площадь параллелограмма, сторона АВ которого равна 29.

6. Высота ВН параллелограмма АВСD площадью 8 пересекает диагональ АС в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 3. В каком отношении точка Н делит сторону АD.

7. Точка K лежит на стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD и делит ее в отношении 1:3, считая от вершины A. Известно, что S_ABK:S_DCK = 1:3. Доказать, что BC||AD.

8. В четырехугольнике АВСD: АВ = СD, ÐВАС = ÐАСD, диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Найти величину угла АDС, если АО ∙ ОС = ВО ∙ О D.

9. Доказать, чтосередины сторон ромба служат вершинами прямоугольника, а середины сторон прямоугольника – вершинами ромба.

10. В параллелограмме АВСD длина диагонали ВD = 2, ÐDАС = ÐDВС = 30 ^о Найти расстояние от вершины D до диагонали АС.

11. В трапецию АВСD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М так, что АМ = 4, МВ =1. Найти радиус этой окружности.

12. В трапеции АВСD верхнее основание ВС = 8. Диагональ АС трапеции делит ее на два треугольника АВС и АСD, разность площадей которых равна 8. Найти длину средней линии трапеции, если высота трапеции равна 4.

13. В параллелограмме АВСD на стороне ВС взята точка М так, что ВМ = АВ. Определить величину угла МАС, если Ð САD = 20⁰, а Ð АDС = 120⁰.

14. Диагональ трапеции делится в точке пересечения другой диагональю в отношении 2:3. Средняя линия трапеции равна 50. Найти основания трапеции.

15. (МГУ, геолог.ф-т) Найти диагональ ромба, если его сторона равна стороне равностороннего треугольника с площадью , а другая диагональ равна 16.

16. Найти расстояние между точками пересечения средней линии трапеции с диагоналями, если основания трапеции равны а и b.

17. Точка K лежит на стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD и делит ее в отношении 1:3, считая от вершины A. Известно, что площади треугольников АВК, ВКС и КСD состоят в пропорции 1:3:3 соответственно. Определить, в каком отношении отрезок КС делит диагональ четырёхугольника BD.

18. Доказать, что точка пересечения отрезков с концами в серединах противоположных сторон выпуклого четырехугольника делит указанные отрезки пополам.

19. (ЕГЭ,В): Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её высота равна 3, а тангенс угла между диагональю и основанием равен 0,25.

20. (ЕГЭ,В):В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен , а площадь равна , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

21. (ЕГЭ,В):Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 2, если тангенс угла при основании трапеции равен .

22. Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5:11. Найти длины оснований трапеции

23. (ЕГЭ,08,B11) Из вершины A параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону BC в точке P и диагональ BD в точке M. Найдите площадь треугольника BMP, если известно, что площадь треугольника ABM равна 14, а площадь параллелограмма ABCD равна 84.