Глава 2. Задачи на применение теорем Менелая и Чевы

Как видно из доказательств, они очень похожи, поэтому, при рассмотрении теоретического материала, я рассмотрел сразу обе теоремы. А теперь в практической части попробую доказать свою гипотезу, показав красоту решения некоторых задач с использованием ранее неизвестных мне теорем. И для сравнения покажу решение одной и той же задачи разными способами.

Задача 1. На сторонах АВ и АС АВС взяты точки M и N так, что . Отрезки BN и CM пересекаются в точке K. Найдите отношение отрезков

Решение. Применим теорему Менелая к

и секущей CM. Получим,

Решение задачи используя подобие треугольников.

1. Проведём прямую BD параллельную стороне АС. Точка D точка пересечения этой прямой с прямой СМ.

2. Рассмотрим треугольники DKB и CKN. Данные треугольники подобны.

3. ;

5. , из условия.

Ответ:

Задача разобрана мною двумя способами для сравнения. Краткость решения во втором способе подтверждает моё предположение о необходимости изучения этих теорем в школе. Продолжу:

Теперь докажем известные нам факты о замечательных точках с использованием теоремы Чевы.

Задача 2: Доказать, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ – биссектрисы треугольника АВС, т.к. биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых пропорциональны противолежащим сторонам, то

Перемножив полученные равенства, получим:

Т.о. по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке.

Задача 3: Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

А₁

С₁

В₁

Доказательство. Так как точки А₁, С₁, В₁ лежат на сторонах треугольника, достаточно доказать, что выполняется равенство

Так как ВВ_1, СС₁, АА₁медианы имеем, что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые ВВ_1, СС₁, АА₁ пересекаются в одной точке. Ч.т.д.

Школьное доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения медиан АА₁ и ВВ₁.

Проведём среднюю линию А₁В₁ этого треугольника.

А₁

С₁

В₁

Отрезок А1В1параллелен стороне АВ, поэтому

Следовательно, и значит их стороны пропорциональны:

АВ = 2 А₁В₁, поэтому АО = 2А₁О и ВО = 2В₁О.

Таким образом, точка О пересечения медиан АА₁

и ВВ1делит каждую из них в отношении 2:1,

считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения

медиан ВВ₁ и СС₁делит каждую из них

в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая с вершины.

Задача 4. Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть BN,AM,CK высоты треугольника АВС проведённые соответственно к сторонам АС,СВ,АВ.

Так как точки M,N,K лежат на сторонах треугольника АВС, то достаточно доказать, что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые BN, AM, CK пересекаются в одной точке.Ч.т.д.

А₁

В₁

С₁

А₂

С₂

В₂

Школьное доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем. Что прямые АА₁, ВВ₁,СС₁, содержащие его высоты пересекаются в одной точке.

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую,параллельную каждой стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂.

1. Точки А, В, С середины сторон треугольника АВС. АВ = А₂С,

АВ = СВ₂как противоположные стороны параллелограмма АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂.

2. Аналогично С₂А = АВ₂, С₂В = ВА₂.

3. .

Таким образом прямые АА₁, ВВ₁,СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂.Значит, они пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Задача 5: Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.

( французский математик Жозеф Диаз Жергон, 1776 – 1831 г.г )

Доказательство: Пусть окружность касается сторон треугольника АВС в точках А₁, В₁, С₁, т.к. длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, то АВ₁=АС₁, ВС₁=ВА₁, СА₁=СВ₁. Тогда

Следовательно, по теореме Чевы, данные прямые пересекаются в одной точке.

А₁

В

А

В₁

С₁

Задача 6: Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).

(немецкий учёный Нагель Христиан Генрих фон (1803-1882 г.г)).

Чтобы доказать данную теорему, необходимо ввести определение вневписанной окружности.

Определение: Окружность называется вневписанной, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон. Сделаем чертёж. Центр вневписанной окружности, лежит в точке пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Доказательство:

Тогда, из прямоугольных треугольников ОВС₁, ОАС₁получим: ;

из прямоугольных треугольников О₂В₁С, О₂АВ₁получим: ;

из прямоугольных треугольников О₁ВА₁, О₁А₁С получим: , составим произведение соответствующих отрезков с использованием равенства из теоремы Чева:

Т.о. данные прямые пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы добавили к замечательным точкам треугольника ещё две: точку Жергонна и точку Нагеля.

Задача 7 (прямая Симпсона). Основания перпендикуляров, проведенных к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки, описанной около него окружности, лежат на одной прямой.

А

В

Р

С

С₁

В₁

А₁

Решение. Пусть PA₁, PB₁, PC₁ перпендикуляры, проведённые к прямым, содержащим стороны треугольника АВС. Запишем теорему Менелая для

А теперь докажем, что это равенство верно.

1) △BBA1- прямоугольный.ВА1=BP ⋅cosPBC

△PA1C- прямоугольный.CA1=CP⋅cosPCB

BA1A1C=-PCcosPCAPAcosPAC

2) △B1PC- прямоугольный.CB1=PCcosPCA

△ABB1- прямоугольный.AB1=PAcosPAC

CB1AB1=-APcosPCAPBcosPAC

3) △AC1P- прямоугольный.AC1=APcosPAB

△C1BP- прямоугольный.C1B=PBcosPBA

AC1C1B=-APcosPABPBcosPBA

4) ∠PAB=∠PCB-т.к.операются на одну дугу

∠PAC=∠PBC-т.к.операются на одну дугу

5) ∠PCA+∠PBA=180°

∠PAC=180°-∠PBA

cosPBC=cos180°-∠PBA=-cosPBA

cosPAC=cosPBA=cos180°-∠PCA=-cosPCA

ВА1А1С⋅СB1B1A⋅AC1C1B=-BPcosPBCCPcosPCB∙-CPcosPCAAPcosPAC∙-APcosPABPBcosPBA=-1

Следовательно, в силу теоремы Менелая точки А₁, В₁. С₁ лежат на одной прямой.

Задача 8 (Теорема Дезарга). Прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке О. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B_1,BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой.

SHAPE \* MERGEFORMAT

A₁

A

C₁

B₂

B₁

B

A₂

C₂

С С

O

Решение.

Пусть A₂, B₂, C₂ – точки пересечения прямых BC и B₁C₁, AC и A₁C₁, AB и A₁B₁. Применим теорему Менелая к следующим треугольникам и секущем:

1) △ОАВ и секщая А1В1: AA1A1O⋅OB1B1B⋅BC2C2A=-1

2) △ОВСи секщая С1В1: ОС1С1С⋅ВВ1B1О⋅СА2А2В=-1

3) △ОАС и секщая А1С1: ОА1A1А⋅АB2B2С⋅СC1C1О=-1

4) Перемножив равенства получим.
AВ2В2С⋅СА2С2А⋅BC2C2A=-1
Следовательно в силу теоремы Менелая точки А₂, В₂, С₂Лежат на одной прямой.

Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

· Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

· Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

· Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Поэтому остановимся на том, когда же имеет смысл применять теорему Менелая при решении задач? Возможность применить теоремы Менелая имеет смысл, когда в условии задачи:

1. Идёт речь, об отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка).

2. Если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

3. Иногда полезно применять обратную теорему (если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой). А также при доказательстве теорем.

В своей работе с помощью теоремы Менелая я доказываю теорему Чевы, Симпсона, Дезарга и многие другие известные соотношения.

Доказательства утверждений приводятся в работе.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теорем Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Теоремы Чевы и Менелая помогают решить задачи более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий; быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.

Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на элективных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.

Список литературы

1. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.

2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч.1. М.: Наука, Физматлит, 1995.

3. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.

4. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1991.

5. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 2004 №13,14.

6. Б.Орач «Теорема Менелая». Квант № 3, 1991.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.

8. К. А. Иванов «О пропорциональных отрезках в треугольнике», журнал «Математика в школе» №8-2004.

9. Е. Качалкина «Применение теорем Чевы и Менелая», журнал «Математика в школе» №13,14 -2004.

10. Г.И.Глейзер. История математики в школе – 1983, - 316с.

Глава 2. Задачи на применение теорем Менелая и Чевы

Поиск по сайту