Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором множестве т.е. для всех существует . Тогда производная является также функцией аргумента с областью определения Если эта новая функция дифференцируема, то можно найти ее производную, называемую второй производной исходной функции или производной второго порядка и обозначаемую или т.е.

В связи с этим для определенности называют первой производной или производной первого порядка. Ясно, что если , в свою очередь, является дифференцируемой функцией аргумента , то последующее дифференцирование дает третью производную

и т.д. Производной n – го порядка функции называют производную от производной (n – 1) – го порядка этой функции, т.е.

или .

В первой форме записи порядок производной берут в скобки, чтобы отличить от показателя степени.

Ранее было показано, что если функция имеет в точке конечную производную, то она непрерывна в этой точке. Отсюда следует, что если функция имеет в точке конечную производную n – го порядка, то эта функция и все ее производные до го порядка включительно определены в некоторой окрестности данной точки и непрерывны в указанной точке.

Функцию называют раз непрерывно дифференцируемой на множестве если во всех точках этого множества она имеет непрерывные производные до порядка включительно.

Введем дифференциалы высших порядков. В связи с этим дифференциал dy функции в некоторой точке x будем называть первым дифференциалом или дифференциалом первого порядка в данной точке.

Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции в некоторой точке x называется дифференциал от дифференциала первого порядка в данной точке (если он существует) и обозначается Итак,

Очевидно, дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка, т.е.

и т.д.

Вообще, n – м дифференциалом функции в некоторой точке x называют дифференциал в этой точке (если он существует) от дифференциала - го порядка в указанной точке и обозначается , т.е.

Если x – независимая переменная, то является произвольным, не зависящим от x числом, которое при дифференцировании по x следует считать постоянным множителем. В этом случае для производной точки x имеем:

Выражение принято обозначать т.е. опускать скобки, но помнить, что это не квадрат x, а квадрат dx.

Аналогично

Отсюда следует выражение для n – ой производной:

Символ в правой части можно рассматривать как отношение дифференциала n – го порядка функции к n – й степени дифференциала независимой переменной. Итак, для существования дифференциала n – го порядка функции в точке x необходимо, чтобы эта функция была n раз дифференцируема в данной точке.

Для параметрически заданной функции имеем