Совокупность данных характеризуется (оценивается) одним числом – мерой центральной тенденции числовых значений её элементов. К таким характеристикам относятся мода, медиана и среднее.
Определение. Мода измерения (обозначаю Мо) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке.
Определение. Медиана измерения (обозначаю Ме) – это число (значение случайной величины) разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части.
Для того, чтобы найти медиану ряда чисел, нужно их сперва упорядочить – составить ранжированный ряд (записать в порядке возрастания). Если в упорядоченной выборке нечётное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке чётное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел.
Определение. Среднее (или среднее арифметическое) – частное от деления суммы всех результатов измерений на объём измерения.
Медиану используют вместо средней арифметической, когда крайние варианты упорядоченного ряда (наименьшая и наибольшая) по сравнению с остальными оказываются чрезмерно большими или чрезмерно малыми.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) 
(или 
) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.
Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений 
, то ее математическое ожидание находится по формуле
= x 1p1+ x 2p2 +... + x npn (1)
Математическое ожидание иначе называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое среднее число, около которого группируются все значения случайной величины.
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной 
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. 
Математическое ожидание не может в достаточной мере охарактеризовать случайную величину, поэтому необходимо использовать такую характеристику как дисперсия.
Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. 
(2)
Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания. 
(3)
Свойства дисперсии.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 
2. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 
3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 
4. Дисперсия постоянной величины равна нулю. 
Определение. Средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением или стандартом) 
дискретной случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: 
= 
. (4)
Решение задач.
Задача №1. Найти медиану, моду и среднее выборки значений случайной величины:
а) 5, 9, 1,4,5,-2,0; б) 7,2,3,2, 6, 1.
Решение.
а) Расположим элементы выборки в порядке возрастания: -2,0,1,4,5,5,9.
Ме = 4; Мо = 5; Ср. = (-2+1+4+5+5+9)\7 = 3,14.
б) 1,2,2,3,6,7
Ме = (2+3)\2 = 2,5; Мо = 2; Ср. = (1+2+2+3+6+7)\6 = 3,5.
Задача №2. Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей закон распределения, представленный в таблице 1.
Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х.
| Xi | – 2 | – 1 | |||
| Pi | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
Решение:
1. Найдём математическое ожидание.
По формуле (1): M(x) = –2*0.3 + (–1)*0.1 + 1*0.2 + 2*0.1 + 3*0.3 = – 0.6 – 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 0.6
2. Найдём дисперсию. Случайная величина (Х – М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице 2
Таблица 2. Закон распределения случайной величины (Х – М(Х))
| Xi – М(х) | – 2.6 | – 1.6 | 0.4 | 1.4 | 2.4 |
| Pi | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
Тогда:D(X) = M(x – M(x))2 = (–2.6)2 . 0.3 + (–1.6)2 . 0.1 + 0.42 . 0.2 + 1.42 . 0.1 + 2.42 . 0.3 = 2.028 + 0.256 + 0.032 + 0.196 + 1.728 = 4.24
случайная величина x 2 имеет распределение, представленное в таблице 3.
Таблица 3. Закон распределения случайной величины х2
| Xi | |||
| Pi | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
Тогда M(x 2) = 1 . 0.3 + 4 . 0.4 + 9 . 0.3 = 0.3 + 1.6 + 2.7 = 4.6
D(x) = M(x 2) – (M(x))2 = 4.6 – 0.62 = 4.6 – 0.36 = 4.24
3. Найдём среднее квадратичное отклонение: 
~2.059
Задача №3: Известны законы распределений случайных величин Х и Y – оценок, полученных 1 и 2 студентами по теории вероятности. Успеваемость какого студента лучше?
Х:
| xi | |||||
| pi | 0, 1 | 0,2 | 0,3 | 0,25 | 0,15 |
Y:
| yi | |||||
| pi | 0, 2 | 0,175 | 0,15 | 0,175 | 0,3 |
Решение: По формуле 
3,15.
2,65.
Т.е. второй студент учится в среднем хуже первого.
Задача №4 :
1. Дан ряд распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.
| xi | ||||
| pi | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение:
.
Применим формулу для нашего примера:
| xi | ||||
| xi2 | ||||
| pi | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
.
Среднее квадратичное отклонение = 
.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определения случайной величины, дискретной случайной величины, закона распределения случайной величины.
2. Какие существуют способы задания закона распределения случайной величины?
3. Что такое функция распределения F(x) и каковы её основные свойства?
4. Дайте определения генеральной совокупности, выборки, репрезентативной выборки. Приведите примеры.
5. Какими основными характеристиками оценивается совокупность. Дайте определение каждой из них.
6. Что такое математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
7. Назовите основные свойства математического ожидания и дисперсии.
Литература
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. 10-11классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др. 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.-463с.: ил.
2. Башмаков М.И. Математика: учебник / М.И.Башмаков.- М.: КНОРУС, 2017.-394с. -(Начальное и среднее профессиональное образование).
Дополнительная литература
1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2004. — 404 с: ил.
Задание
1. Сделать конспект лекции, разобрать задачи.
2. Ответить письменно на контрольные вопросы.
3. Решить по литературе [1] задачи №1145 3) и 4), №1150, №1156.
4. Переслать сканы выполненного задания личным сообщением на https://vk.com/id587846845 или на электронную почту annokhonchenko@rambler.ru