Предел, непрерывность, производная вектор функции

ВВЕДЕНИЕ

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Так как целью курсовой работы является изучение интегрирования и дифференцирования вектор функций.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

ü Найти и изучить литературу по данной теме;

ü Изучить основные понятия вектор функции;

ü Изучить интегрирование и дифференцирование вектор функции.

Объектом исследования являются различные виды вектор функций.

В работе использованы следующие методы исследования:

1. Анализ научной литературы по теме «интегрирование и дифференцирование вектор функций»;

2. Синтез полученных знаний;

3. Обобщение полученных знаний.

Понятие вектор функции

В курсе математики и ее многочисленных приложениях часто приходится иметь дело не только с числовыми функциями, но и с функциями, у которых область определения D или множество значений E состоят из элементов другой природы, например D R, а E – подмножество множества векторов.

Векторной функцией действительного аргумента (вектор-функцией скалярного аргумента) называется отображение, которое каждому действительному числу t T R ставит в соответствие один и только один вектор трехмерного пространства R3.

Обозначается: a= a(t), t T.

Различным значениям t T соответствуют разные значения вектор-функции, т.е. векторa = a(t) имеет определенную длину (модуль) и определенное направление. Следовательно, векторa r = ar(t) может изменяться как по величине, так и по направлению.

Если каждому значению параметра из некоторого промежутка отвечает определенный вектор (зависящий от ), то вектор называется векторной функцией (кратко вектор-функция) от скалярного аргумента и в этом случае пишут:

(1.1)

При изменении аргумента вектор изменяется как по величине, так и по направлению. В дальнейшем будем предполагать, что изменяется в промежутке, конечном или бесконечном.

Будем считать, что вектор исходит из начала координат, т.е. − радиус-вектор некоторой точки . В этом случае при изменении параметра конец вектора опишет линию , называемую годографом векторной функции . При этом начало координат называют полюсом годографа. Уравнение (1.1) называют векторным уравнением кривой (рис. 1.1).

Если у вектора меняется только модуль, то годографом его будет луч, исходящий из полюса. Если модуль вектора постоянен и меняется только его направление, то годограф есть линия, лежащая на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным модулю вектора .

Рис. 1 Вектор - функция

Если через обозначить проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, то эти величины для каждого значения параметра в свою очередь принимают определенные числовые значения и поэтому являются скалярными функциями скалярного аргумента :

, , . (1.2)

И тогда

. (1.3)

Таким образом, задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию трех скалярных функций того же аргумента. Т.к. уравнение (1.1) является уравнением некоторой кривой в пространстве, то ту же кривую задают уравнения (1.2). Уравнения (1.2) − обычные параметрические уравнения кривой в пространстве.

Предел, непрерывность, производная вектор функции

Пусть вектор-функция определена в окрестности точки , кроме самой точки .

Вектор называется пределом векторной функции при (или в точке ), если

. (1.4)

Если есть предел функции при , то это записывается так

. (1.5)

Если записать векторную функцию и вектор в проекциях

то получим

.(1.6)

Тогда из равенства (1.4) следует, что

, , .(1.7)

Свойства вектор-функции:

1. Если , то .

2. .

3. , − скалярная функция.

5. .

Вектор-функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .

Из равносильности (1.4) и (1.7) следует, что для того чтобы вектор-функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции .

Введем понятие производной векторной функции

. (1.8)

Предполагаем, что начало вектора находится в начале системе координат (рис. 1.2).

Возьмем фиксированное значение параметра, соответствующее какой-либо точке определенной точке на кривой, заданной уравнением (1.8), и дадим параметру приращение . Тогда получим вектор:

который определяет некоторую точку . Найдем приращение вектора:

(1.9)

На рисунке, где , . Вектор приращения определяется вектором .

Рассмотрим отношение приращения вектор-функции к приращению скалярного аргумента; это есть вектор коллинеарный с вектором . При этом вектор в сторону, соответствующую возрастанию параметра .

Далее с учетом (1.9) вектор можно представить в виде

. (1.10)

Если функции имеют производные при выбранном значении параметра , то множители при в равенстве (1.10) в пределе при обратятся в производные .

Значит, .

Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу . Ее обозначают или . Итак,

. (1.11)

Выясним направление вектора . Заметим, что при точка стремится к точке и поэтому секущая стремится к касательной в точке . Отсюда, производная является вектором, касательным к годографу вектор-функции , направленным в сторону, соответствующую возрастанию параметра .