Рассмотрим решение задачи об определении внутренних силовых факторов в линейной механической системе при случайном внешнем воздействии.
Пусть конструкция, занимающая область 
, подвержена системе случайных силовых воздействий или внешних давлений, заданных в некоторых подобластях конструкции 
(n = 1, 2,..., N) в виде произведения случайных функций времени 
и детерминированных функций координат 
| (13.7.1) |
Конструкция может, например, представлять собой оболочку, на отдельных участках которой (подобластях ) заданы случайные акустические воздействия (13.7.1). Требуется определить среднеквадратичные значения виброускорений или напряжений в элементах конструкции.
Запишем уравнение движения конструкции и граничные условия в общей форме
| (13.7.2) |
здесь m – погонная масса или матрица масс;
w – перемещения или кинематический подвектор системы;
L – в общем случае матрица жесткости или дифференциальный оператор, характеризующий упругие свойства системы;
- граничные условия, записанные в обобщенном виде.
Правая часть 
– случайная функция имеет следующий вид:
 .
| (13.7.3) |
Предварительно с учетом стационарности случайных временных функций 
определяются их математические ожидания, которые для стационарных процессов являются константами 
. В случае если математические ожидания внешних сил 
статически уравновешены, математические ожидания всех кинематических и силовых факторов в конструкции определяются путем решения статической задачи
| (13.7.4) |
(в уравнении (13.7.2) отброшены инерционные члены).
Правая часть уравнения (13.7.4) получается из правой части общей задачи (13.7.3) путем замены случайных функций их математическими ожиданиями 
.
В случае, если математическое ожидание внешних сил 
статически неуравновешены, в правую часть уравнения (13.7.4) добавляются инерционные силы от движения изделия как твердого целого. После чего в связанной системе координат решается статическая задача от взаимно уравновешенных внешних и инерционных сил.
После определения нагрузок в конструкции от внешних сил, представляющих собой математическое ожидание правой части уравнения (13.7.2) 
, случайные функции характеризующие изменение внешних сил во времени в (13.7.3) 
(t), центрируются
| (13.7.5) |
Затем правая и левая части уравнения (13.7.2) центрируются
| (13.7.6) |
и с использованием аппарата спектрально-коррекционных представлений решается задача о нагрузках при случайных воздействиях. При этом в уравнении (13.7.2) функция 
и правая часть заменяются на центрированные функции 
и 
(13.7.6).
Отыскивая решение задачи (13.7.2) относительно центрированной функции 
в виде разложения по собственным формам колебаний 
| (13.7.7) |
получим следующие уравнения для обобщенных координат Tj:
| (13.7.8) |
| (13.7.9) |
Здесь 
– центрированные случайные функции, характеризующие изменение внешних сил или давлений в каждой подобласти Vn.
Решение уравнения (13.7.8)с использованием интеграла Дюамеля (13.2.5) следующим образом выразится через импульсную функцию 
(t) уравнения (13.7.8)
| (13.7.10) |
Любая силовая или кинематическая компонента конструкции x (x,t) на основе метода разложения решения по тонам колебаний представится в виде
| (13.7.11) |
Здесь 
– силовая или кинематическая компонента j -то тона колебаний конструкции.
Выражение для корреляционных функций выходного процесса Kx (x,t) по параметру x (x,t) запишется так (на основе операции осреднения 
)
|
| (13.7.12) |
В равенство (13.7.12) входят взаимные корреляционные функции входных силовых воздействий qm(t)
| (13.7.13) |
Таким образом, корреляционная функция выходного процесса 
свяжется с корреляционными функциями входных силовых воздействий 
следующим образом
| (13.7.14) |
После определения корреляционных функций выходных параметров переходим к построению спектральных плотностей с использованием преобразования Фурье
| (13.7.15) |
Подставив в (13.7.15) выражение для корреляционной функции (13.7.14), придем к следующему равенству
|
| (13.7.16) |
(В формулах (13.7.12), (13.7.14), (13.6.16) формы колебаний соответствующего силового или кинематического фактора 
и 
являются функциями координат.)
В (13.7.16) также как и при получении спектральной плотности одностепенного осциллятора введены два сомножителя типа (13.6.4), произведение которых равно единице.
|
Нетрудно видеть, что первые два интеграла, входящие в (13.7.16), являются передаточными функциями уравнений для обобщенных координат (13.7.8) m-го и n-го тонов колебаний (звездочкой * обозначено комплексное сопряжение)
| (13.7.17) |
Введем замену переменных в последнем интеграле, входящем в (13.7.16),
.
В итоге получим соотношения для взаимных спектральных 
входных случайных силовых воздействий qn (t)
| (13.7.18) |
и спектральную плотность для любой силовой или кинематической компоненты конструкции 
| (13.7.19) |
В связи с тем, что левая часть уравнения (13.7.8) для обобщенных координат совпадает по структуре с уравнением для одностепенного осциллятора, передаточные функции, входящие в (13.7.19) примут вид
 
| (13.7.20) |
Проанализируем структуру формулы (13.7.19). Для этого построим передаточные функции системы отдельно для каждого варианта случайного воздействия 
, то есть для каждого варианта внешнего давления, заданного в подобластях конструкции 
(13.7.3).
Это означает необходимость решения уравнения (13.7.2) с правыми частями
  k= 1, 2, ¼, N
| (13.7.21) |
Будем строить решение для передаточных функций также в виде разложения по тонам колебаний (13.7.7).
Тогда уравнения (13.7.8) для обобщенных координат трансформируются следующим образом:
| (13.7.22) |
Коэффициенты Akj будут иметь структуру, аналогичную (13.7.9).
Решение уравнения (13.7.22) имеет вид
| (13.7.23) |
Таким образом, передаточная функция любой силовой или кинематической компоненты 
от гармонического воздействия в k -ой области Vk будет иметь вид
| (13.7.24) |
| k= 1, 2, ¼, N.
|
теперь перепишем равенство (13.7.19) в следующей форме
| (13.7.25) |
С учетом формулы для передаточных функций (13.7.24) спектральная плотность любого силового или кинематического параметра будет связана с матрицей спектральных плотностей 
входных случайных воздействий (акустических давлений) следующим равенством
| (13.7.26) |
Отметим, что спектральные плотности выходных параметров в программном комплексе MSC.NASTRAN определяются по формуле, имеющей структуру (13.7.26). При этом передаточные функции 
могут определяться как с использованием модального анализа (как это проиллюстрировано в данном разделе), так и прямым методом, с использованием алгебры комплексных чисел (комплексных жесткостей).
Дисперсия 
и, соответственно, среднеквадратичное значение 
любого силового и кинематического параметра вычисляются по следующей формуле
| (13.7.27) |
если внешние случайные воздействия qn, заданные в различных подобластях конструкции (13.7.3), нескоррелированы, внедиагональные элементы матрицы взаимных спектральных плотностей равны нулю. В этом случае формула (13.7.27) преобразуется к следующему виду:
| (13.7.28) |
После нахождения математического ожидания 
и среднеквадратичного значения 
некоторого силового или кинематического фактора определяется его эксплуатационное значение, соответствующее заданному уровню вероятности непревышения. Так, в предположении нормального закона распределения эксплуатационное значение, 
будет иметь вид
,
где k – число квантилей, отвечающее заданному уровню вероятности непревышения Р 0.
Таким образом определяются основные статистические характеристики кинематических и силовых компонент вектора состояния в сечениях конструкции через характеристики стационарного случайного внешнего силового воздействия.