Оглавление
1.Введение……………………………………………………………………………3.
2.Примеры конструктивных теорем.
2.1. Теорема о существовании максимума и минимума на отрезке у дифференцированной функции……………………………………………………...3.
2.2. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования……………………………………………………………………….4.
2.3. Теорема о существовании непрерывной функции всюду не дифференцируемой…………………………………………………………………..5.
2.4. Теорема о существовании четной и нечетной функции одновременно….7.
2.5. Если функция удовлетворяет условию симметрии, то ее можно представить в виде суммы двух функций - четной
и нечетной
:
области определения которых те же, что у функций
, причем такое представление единственно…………………………………………………………………………..8.
3. Примеры неконструктивных теорем.
3.1. Теорема Ферма…………………………………………………………………8.
3.2. Теорема Ролля………………………………………………………………….9.
3.3. Теорема Лагранжа……………….....................................................................10.
3.4. Теорема об интегральном среднем…………………………………………..11.
3.5. Теорема о существовании точных верхней и нижней граней у ограниченного множества………………………………………………………….12.
4. Применение теорем для решения задач………………………………………...13.
5. Заключение………………………………………………………………………..14.
6. Литература………………………………………………………………………...15.
Введение
Если посмотреть вокруг, то роль математики в жизни человека становится очевидной. Телефоны, компьютеры и прочая электронная техника сопровождают нас каждый день, а их создание было бы невозможно без использования законов и расчетов этой величайшей науки
В данной работе, будет встречаться довольно-таки часто такое понятие как «функция». Оно прошло долгую и довольно-таки сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692г. у Г. Лейбница, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу в 1698г. швейцарский учёный И. Бернулли.
В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики, такие как: Ферма, Ролль, Лагранж, Вейерштрасс, о теоремах которых я сейчас и расскажу.
В своей курсовой работе буду рассматривать два вида теорем о существовании: конструктивные и неконструктивные.
Первые, конструктивные, в процессе доказательства приводят к построению нужного объекта, то есть предъявляют объект с нужными свойствами явно, например формулой заданную функцию и тому подобное.
Вторые, неконструктивные, доказывают существование, например точки, но не отвечают на вопрос как её найти.
Примеры конструктивных теорем
2.1. Теорема. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке
, то ее производная в этой точке равна нулю,
.
Доказательство. Пусть – точка максимума. Следовательно, в окрестности точки
выполняется неравенство
.
Тогда если
и
,
Если . По условию теоремы производная функции
существует. Переходя к пределу при , получим
, если
и
, если
. Это возможно лишь в случае
.
Аналогично можно показать утверждение теоремы если – точка минимума.
Замечание. Геометрически утверждение теоремы означает, что в точках экстремума касательные к графику функции параллельны оси (рис.65). Обратная теорема не верна. Если
, то это не всегда означает, что точка
– точка экстремума. Действительно, для функции
в точке
производная
,
, но точка
не является ни минимумом, ни максимумом (рис.66). Существуют так же функции, которые в точках экстремума не имеют производных. Так функция
в точке
не имеет производной, но эта точка является ее минимумом (рис.67).
2.2. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
Теорема. Пусть - односвязная область в
, ограниченная и замкнутая (односвязный компакт) и пусть на
заданы функции
и
-непрерывные на
вместе со своими частными производными
и
, тогда следующие условия равносильны:
1) при любом замкнутом контуре
, целиком лежащим в
.
2) не зависит от пути, соединяющего две фиксированные точки в
.
3) , определённая на
и дифференцируема на
, такая что
4) – условие Коши-Римана-Даламбера
Докажем равносильный переход от условия 2 к условию 3:
Доказательство.
Пусть не зависит от пути, соединяющего две фиксированные точки в
.
Пусть ,
;
-путь, проведенный из
в
Рассмотрим функцию и заметим, что хотя
мы выбирали произвольно, в силу условия 2 интеграл не зависит от выбора конкретного пути
, а следовательно и функция
при условии фиксированной начальной точки
зависит только от координат конечной точки
Покажем, что данная функция удовлетворяет условию 3. Для этого рассмотрим частное приращение (по теореме Лагранжа получаем)=
, где
Перейдем к пределам:
Последнее равенство получено из условия, что -непрерывная функция.
Таким образом, данный предел существует и по определению он равен частной производной по
Аналогично
Напомним, что если - дифференцируема, то
В нашем случае, если - дифференцируема, то
Заметим, что правая часть выражения (*) может существовать, но не являться дифференциалом. Однако, можно воспользоваться достаточным условием дифференцируемости, а именно, - дифференцируема, если частная производная непрерывна. Так как
и
равны и
и
также равны соответственно, а они по условиям теоремы непрерывны, то следовательно
- дифференцируема. Значит выражение (**) является ее дифференциалом. Что и требовалось доказать
2.3. Небольшая историческая справка, касательно происхождения данной теоремы:
В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию
{\displaystyle r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2}}}};
однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию {\displaystyle w} и представил строгое доказательство её недифференцируемости. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П.Дюбуа-Реймона. Ещё более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):
{\displaystyle v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}}} ,
где фигурные скобки означают взятие дробной части.
В качестве доказательства данной теоремы, я приведу в пример функцию, которая обладает свойством непрерывности и всюду не дифференцируема.
Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной, как контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей числовой прямой единым аналитическим выражением:
{\displaystyle w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)},
где {\displaystyle a} — произвольное нечетное число, не равное единице, а {\displaystyle b}
— положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b^{n}} ,
поэтому функция {\displaystyle w} определена и непрерывна при всех вещественных {\displaystyle x}
. Тем не менее эта функция не имеет производной по крайней мере при
{\displaystyle ab>{\frac {3}{2}}\pi +1} .
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке {\displaystyle x_{0}} , строят две последовательности {\displaystyle \{x_{m}\}}
и {\displaystyle \{y_{m}\}}
, сходящиеся к точке {\displaystyle x_{0}}
, и доказывают, что отношения
{\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0}}}} и {\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}}
имеют разные знаки по крайней мере при
{\displaystyle ab>{\frac {3}{2}}\pi +1} и {\displaystyle a>1}
.
Указанные последовательности могут быть определены как
{\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m}}}} и {\displaystyle y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m}}},}
,
где {\displaystyle \gamma _{m}} — ближайшее целое число к {\displaystyle a^{m}x_{0}.}
Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях
{\displaystyle ab\geq 1} и {\displaystyle a>1}
было установлено Харди.
Таким образом, я доказал, что существует такая функция, которая непрерывна и всюду не дифференцируема. И название у такой функции, функция Вейерштрасса.
2.4. Теорема о существовании четной и нечетной функции одновременно.
Для начала, хотелось бы привести определения четной или нечетной функции: функция называется четной, если для каждого
из области определения
функции
выполняется равенство
;
функция называется нечетной, если для каждого
из области определения
функции
выполняется равенство
.
А также перечислим ряд свойств этих функций:
сумма или разность двух четных (нечетных) функций есть четная (нечетная) функция;
произведение или частное двух одинаковых по четности функций есть четная функция;
произведение или частное двух разных по четности функций есть нечетная функция;
композиция двух функций одинаковой четности есть функция той же четности;
композиция двух функций разной четности есть функция четная;
если внутренняя функция четная, то ее композиция с произвольной внешней функцией есть функция четная.
Доказательство. Для произвольной функции , заданной на симметричной относительно нуля области определения, положим:
;
Замечание. В множествах и
включены все четные и нечетные функции.
Нам требуется доказать, что пересечение множеств В самом деле, пусть функция
-и четная, и нечетная функция одновременно. Тогда получаем систему
; Вычтем из первого уравнения второе. Получим, что
, откуда следует, что
для любого
. Опираясь на вышеизложенное, можно сделать вывод о том, что тождественно нулевая функция является и четной, и нечетной одновременно и других таких функций нет.Что и требовалось доказать.
2.5. Если функция удовлетворяет условию симметрии, то ее можно представить в виде суммы двух функций - четной
и нечетной
:
области определения которых те же, что и у функций
, причем такое представление единственно.
Доказательство.
При доказательстве теоремы, буду опираться на материал, представленный в пункте 2.4.
Рассмотрим сумму: . Теперь убедимся, что данное разложение единственно. Для этого зададим две функции
и
, такие что,
справедливо равенство
. Тогда получим, что
(1). Выражение (1) равносильно выражению
.
Обозначим , и
. Теперь по свойствам четных и нечетных функций будем иметь:
и
. Что и требовалось доказать.