Вклад Омара Хаяма.
Хайям был автором ряда важных математических трудов, а также астрономических таблиц и нескольких философских сочинений. По заданию Мелик-шаха в 1079 году он составляет календарь, значительно превосходящий по точности даже наш современный.
Свой "Трактат о доказательствах задач алгебры" (1074) Омар Хайям посвятил систематическому исследованию уравнений третьей степени. В этом выдающемся произведении алгебра впервые выступает как самостоятельная наука, предметом которой Хайям объявляет решение уравнений.
Признав, что поиски числового решения кубических уравнений, т.е. решения в радикалах, оказались тщетными, Хайям высказывает надежду, что это будет сделано в будущем. Общим методом решения он объявляет построение корней с помощью пересечения конических сечений, т.е. метод, которым иной раз пользовались греки.
Главное содержание трактата составляют классификация уравнений, подбор пар конических сечений, соответствующих каждому классу, и определение возможного числа и границ положительных корней, т.е., как говорят теперь, отделение корней. Уравнения исследуются в общем виде, их коэффициенты предполагаются произвольными положительными величинами. Всего Хайям различает 14 канонических классов уравнений. Для каждого из них он указывает конические сечения – параболы, равносторонние гиперболы и окружности, абсциссы точек пересечения которых выражают корни уравнения, и анализирует условия возможности положительных корней.
Рассмотрим, например, как Омар Хайям анализирует и решает уравнение 
. Следуя общему правилу, Хайям, прежде всего, приводит это уравнение к однородной форме: 
.
Для решения этого уравнения Хайям использует окружность 
и параболу 
. На рисунке 1, где BC=q, BE= x, KE=y, построены части этих кривых, необходимые для анализа уравнения.
С помощью словесно выраженных пропорций Хайям доказывает, что абсцисса точки пересечения этих кривых, отличная от начала, удовлетворяет данному уравнению. Действительно, по свойству параболы 
а по свойству круга 
, тогда 
, откуда 
. Прибавив к обеим частям уравнения p2x Хайям получает: . У этого вида, заключает Хайям, нет многообразия случаев и невозможных задач, т.е. уравнение всегда имеет единственный положительный корень, что ясно из построения.
В одном из рассмотренных 25 уравнений Хайям допустил досадную ошибку, из-за которой прошел мимо важного открытия – возможности существования у кубического уравнения трех положительных корней.
| Рисунок 1 |
Критикуя приведенное в "Началах" Евклида определение пропорции, Хайям объявляет его хотя и правильным, но не "истинным", т.е. не выражающим основной сути пропорции. Вместо этого определения Хайям, по примеру ряда своих предшественников, выражает равенство двух отношений через равенство всех соответствующих неполных частных разложений этих отношений в непрерывные дроби. Аналогично вводит он отношения "больше" и "меньше". По существу, такие определения, возрождавшие давно забытую к тому времени доевдоксовскую теорию пропорций, уже содержали в себе понимание любого несоизмеримого (иррационального) отношения как числа. Хайям доказывает логическую эквивалентность новой и античной теорий пропорций. Заменив евклидову теорию пропорций числовой теорией, Хайям пришёл к численному приближению иррациональностей и к общему понятию действительного числа.
В "Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида" Омар Хайям, анализируя пятый постулат Евклида, предложил заменить его другим, как он считал, более простым: две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения. Каждое из этих двух утверждений равносильно постулату Евклида. В отличие от многих своих предшественников, Хайям формулировал свой постулат явно. В его рассуждениях основную роль играет рассмотрение четырёхугольника с двумя равными сторонами, перпендикулярными основанию. Доказав, что углы, прилегающие к четвёртой стороне, равны между собой, Хайям разбирает три гипотезы о величине этих углов. Опровергая гипотезы острого и тупого углов, он приходит к существованию прямоугольника и далее к аксиоме Евклида.