Фибоначчи Леонардо Пизанский — это первый крупный математик средневековой Европы. Более известен под прозвищем Фибона́ччи, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».
О бытие Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился предположительно в 1170г.
Заслугой Леонардо Фибоначчи является ряд чисел Фибоначчи. Считается, что об этом ряде было известно на Востоке, но именно Леонардо Фибоначчи опубликовал этот ряд чисел в книге «Liber Abaci» (сделал он это для демонстрации размножения популяции кроликов), написанная в 1202 г., дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.
«Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.
Сообщаемый в «Liber abacci» материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата. Рассмотрим одну такую задачу, помещенную на стр. 123-124 рукописи 1228 г.
«Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?»
«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дают в том же месяце потомства, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в девятом месяце, они дают 89 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар произвела первая пара в данном месте к концу одного года. Действительно, на этих полях ты можешь увидеть, как мы это делаем; именно, мы складываем первое число со вторым, т. е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с. четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев».
Построим алгебраическую модель задачи о кроликах и рассмотрим следующую числовую последовательность:
u1, u2,..., un (1)
в которой u1 = u2 = 1, а каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, то есть при всяком n > 2 выполняется равенство:
u n, = u n – 1 + u n – 2 (2)
Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными или возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство (2) – возвратным (рекуррентным) уравнением [2].
Возвратная последовательность, задаваемая условием u1 = u2 = 1 и формулой (2) называется последовательностью Фибоначчи, а её члены – числами Фибоначчи.
Перечислим основные свойства последовательности Фибоначчи.
Свойство 1. Сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи равна разности (n + 2) числа и 1:
u1 + u2 +... + un = un + 2 – 1 (3)
Доказательство.
u1 = u3 – u2 = 1
u2 = u4 – u3 = 1
u3 = u5 – u4 u1 + u2 +... + un = un + 2 – u2
.......... или
un – 1 = un + 1 – un u1 + u2 +... + un = un + 2 – 1
un = un + 2 – un + 1
Свойство 2. Сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи с нечётными номерами числу с номером 2n:
u1 + u3 + u5 +... + u2n – 1 = u2n (4)
Доказательство.
u1 = u2
u4 = u3 + u2 Þ u3 = u4 – u2
u6 = u5 + u4 Þ u5 = u6 – u4
......................... u1 + u3 + u5 +... + u2n – 1 = u2n
u2n – 2 = u2n + 3 + u2n – 4 Þ u2n + 3 = u2n – 2 – u2n – 4
u2n = u2n + 1 + u2n + 2 Þ u2n + 1 = u2n – u2n + 2
Свойство 3. Сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи с чётными номерами числу с номером 2n:
u2 + u4 + u6 +... + u2n = u2n + 1 – 1 (5)
Доказательство.
u1 + u2 + u3 +... + un = un + 2 – 1 (3)
-
u1 + u3 + u5 +... + u2n – 1 = u2n (4)
u2 + u4 + u6 +... + u2n = un + 2 – 1 – u2n (5¢) следует из (3) и (4)
u2n + 2 = u2n + 1 + u2n Þ u2n + 1 = u2n + 2 – u2n (4¢) следует из (2)
u2 + u4 + u6 +... + u2n = u2n + 1 – 1 (5) следует из (5¢) и (4¢)
Свойство 4. Квадрат числа Фибоначчи равен разности произведений n-го и
(n + 1)-го и n-го и (n – 1)-го чисел:
un 2 = un × un + 1 – un × un – 1 (6)
Доказательство.
un 2 = un× un = un × (un + 1 – un – 1) = un × un + 1 – un × un + 1
Свойство 5. Сумма квадратов первых n чисел последовательности Фибоначчи равна произведению n-го и (n + 1)-го чисел:
u1 2 + u2 2 +... + un 2 = un × un + 1 (7)
Доказательство.
u1 2 = u2 × u1
u2 2 = u3 × u2 – u2× u1
u3 2 = u4 × u3 – u3× u2
................. u1 2 + u2 2 +... + un 2 = un × un + 1
un – 1 2 = un × un – 1 – un – 1 × un – 2
un 2 = un + 1 × un – un × un – 1
Свойство 6. (n + m)-ое число Фибоначчи равно сумме произведений (n – 1)-го на m-ое и n-го на (m + 1)-ое число Фибоначчи:
un + m = un – 1 × um + un × um + 1 (8)
Доказательство (индукцией)
I. Проверим выполнимость формулы (8) для m = 1:
m = 1: un + 1 = un – 1 × u1 + un × u2, где u1= u2 = 1, то есть un + 1 = un – 1 + un – выполняется для любого числа Фибоначчи, начиная с n = 2, согласно определению последовательности Фибоначчи.
II. Предположим, что формула (8) выполняется для m = k и m = k + 1:
un + k = un – 1 × uk + un × uk + 1 и un + k + 1 = un – 1 × uk + 1 + un × uk + 2.
Из I-II, по аксиоме индукции, следует выполнимость формулы (8).
Свойство 7. 2n-ое число Фибоначчи равно произведению n-ого на сумму (n – -1)-ого и (n + 1)-ого чисел Фибоначчи:
u2n = un (un – 1 + un + 1) (9)
Доказательство.
По свойству 6, u2n = un + n = un – 1 × un + un × un + 1 = un (un – 1 + un + 1).
Из свойства 7 следует, что u2n 
un (10)
Свойство 8. Разность квадратов двух чисел Фибоначчи, номера которых отличаются на 2 – есть снова число Фибоначчи с номером 2n:
u2n = un + 1 2 – un – 1 2. (11)
Доказательство.
По свойству 7, u2n = un (un – 1 + un + 1). (*)
По определению, un + 1 = un + un – 1, откуда un = un + 1 – un – 1. (**)
Из (*) и (**) следует, u2n = (un + 1 – un – 1) × (un – 1 + un + 1) = = un + 1 2 – un – 1 2.
Свойство 9. Квадрат числа Фибоначчи вычисляется по формуле:
un 2 = un + 1 ×un – 1 + (– 1) n + 1 (12)
Доказательство (индукция).
I. Проверим выполнимость формулы (12) для n = 2:
u2 2 = u3× u1 + (– 1)3 = u3× u1 – 1, где u1= u2 = 1, u3 = 2.
то есть, получаем верное числовое равенство: 1 = 2 × 1 – 1.
II. Предположим, что формула (12) выполняется для n = k:
uk 2 = uk + 1 ×uk – 1 + (– 1) k + 1
III. Докажем, что формула (11) выполняется для n = k + 1:
uk + 1 2 = uk + 2 ×uk + (– 1) k + 2.
К обеим частям равенства II прибавим uk + 1 ×uk:
uk 2 = uk + 1 ×uk – 1 + (– 1)k + 1
uk 2 + uk + 1 ×uk = uk + 1 ×uk – 1 + uk + 1 ×uk + (– 1)k + 1
uk × (uk + uk + 1) = uk + 1 (uk – 1 + uk)+ (– 1)k + 1
uk × uk + 2 = uk + 1 × uk + 1 + (– 1)k + 1
uk × uk + 2 = uk + 1 2 + (– 1)k + 1
uk + 1 2 = uk × uk + 2 – (– 1)k + 1
uk + 1 2 = uk + 2 × uk + (– 1) × (– 1)k + 1
uk + 1 2 = uk + 2 × uk + (– 1)k + 2
Из I-III, по аксиоме индукции, следует выполнимость формулы (12).
Свойство 10. Числа Фибоначчи вычисляются по формуле Бине:
(13)
Следующие (теоретико-числовые) свойства чисел Фибоначчи перечислим, не приводя доказательства.
Свойство 11. Если n делится на m, то и un делится на um.
Если n делится на m, то n = k × m. Доказательство следует вести индукцией по k.
Свойство 12. Если существует хотя бы одно число Фибоначчи un, делящееся на m, то таких делящихся на m чисел Фибоначчи можно найти сколь угодно много. Ими будут, кроме un, например, числа u2n, u3n, u4n и т.д.
Свойство 13. Каково бы ни было целое число m, среди первых m 2 – 1 чисел Фибоначчи найдется хотя бы одно, делящееся на m.
Теорема (свойство 13) не утверждает ничего о том, какое именно число Фибоначчи разделится на m. Она говорит только, что первое число Фибоначчи, делящееся на m, не должно быть особенно большим.
Свойство 14. Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.
Доказывается методом от противного.
Свойство 15. НОД двух чисел Фибоначчи с номерами n и m есть число Фибоначчи с номером, равным НОД(n, m):
НОД(un, um) = uНОД(n, m) (14)
Свойство 16. un делится на um тогда и только тогда, когда n делится на m. Из свойства 16 следует, что о делимости чисел Фибоначчи можно судить, рассматривая делимость их номеров.
Также без доказательства приведём некоторые признаки делимости чисел Фибоначчи. Под признаком делимости мы понимаем здесь признак, по которому можно определить, делится или нет то или иное число Фибоначчи на некоторое данное число.
Признак 1. Число Фибоначчи четно тогда и только тогда, когда его номер делится на 3.
Признак 2. Число Фибоначчи делится на 3 тогда и только тогда, когда его номер делится на 4.
Признак 3. Число Фибоначчи делится на 4 тогда и только тогда, когда его номер делится на 6.
Признак 4. Число Фибоначчи делится на 5 тогда и только тогда, когда его номер делится на 5.
Признак 5. Число Фибоначчи делится на 7 тогда и только тогда, когда его номер делится на 8.
Признак 6. Число Фибоначчи делится на 16 тогда и только тогда, когда его номер делится на 12.
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрено творчество Архимеда, задача Иосифа Флавия, вклад Омара Хайма, задача Фибоначчи Леонардо Пизанского и его вклад в развитие математики. Изучив все задачи, можно прийти к выводу, что они оказали огромное влияние на современную математику, так как некоторые доказательства применяются и в наше время.
Список литературы
1. Грехем, Р. Конкретная математика. Основание информатики. [Текст] / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. Пер. с англ. – М.:Мир, 1998.
2. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике [Текст]. - М.: Наука, 1983.
3. Мантуров О. В. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2 [Текст] / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; Под. ред. Л. В. Сабинина. – М.: Просвещение, 1982
4. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
5. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М., 1961
6. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986