КУРСОВАЯ РАБОТА
Выполнила:
студентка 3 курса очной формы обучения
Парницына Мария Сергеевна
Руководитель:
дфмн, проф. Хэкало С.П.
Итоговая оценка - ______________
Подпись______________________
Коломна – 2017 г.
| Содержание Введение…………………………………………………………….…...3. Глава 1.Понятие однородной функции………………………....4. §1.Альтернативное определение….…...........................................4. §2.Свойства однородных функций……………………..…….....5. §3.Метод Эйлера…………………………………………….……7. §4.Однородная функция нескольких переменных…….………10. §5.Примеры использования однородных функций в дифференциальных уравнениях 1-ого порядка..……………………12. Глава 2. Применение однородных функций…............................16. §1.Применение метода однородных функций для интерпретации сейсмических данных…………………..………...…...16. §2.Эффективность применения метода однородных функций для решения задач инженерной сейсморазведки……………….….....17. Заключение………………………………………………………............19. Список используемой литературы……………………………………20. |
Введение
В современных условиях специалисту любого профиля необходимы глубокие математические знания для решения многочисленных задач, возникающих в профессиональной деятельности. Особая роль при этом отводится однородным функциям, которые позволяют моделировать разнообразные физические, технические, социально-экономические процессы и явления. Т
Однородная функция – одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т.е. для О.ф. мии f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом λ должно иметь место
равенство:
где n- некоторый определённый показатель («показатель однородности», или
«измерение О. ф.»).
В данной работе рассматриваются однородные функции и их применение. В каждой главе пособия содержатся необходимые теоретические сведения (основные теоремы, определения, формулы и т.д.), подробно разобранные примеры.
Глава 1. Понятие однородной функции
Альтернативное определение
Однородная функция степени q — числовая функция f: 
такая, что для любого 
и 
выполняется равенство:
(*)
причём 
называют порядком однородности.
Различают также
положительно однородные функции, для которых равенство (*) выполняется только для положительных λ (λ > 0)
абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения
с заранее неопределённой функцией g(
) и лишь потом доказывается, что g(
Для единственности решения g( нужно дополнительное условие, что функция f(v) не равна тождественно нулю и что функция g(
принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция f(v) непрерывна хотя бы в одной точке [1] с ненулевым значением функции, то g(
должна быть непрерывной функцией при всех значениях и тем самым для широкого класса функций f(v) случай g(
— единственно возможный.
Обоснование:
Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению
при любом выборе функции g( однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.
Если же в какой-то точке 
значение 
то:
1. 
(
откуда:
2. 
где 
Функциональное уравнение Коши[2] 
имеет решение в виде линейной функции: G(t)= 
причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что 
непрерывная или монотонная функция, то g(.