7.1. Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
7.2. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса. Сделать проверку.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
7.3. Найти фундаментальную систему решений и, используя ее, записать общее решение. Сделать проверку.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
7.4. Решить систему линейных уравнений.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
7.5. Решить матричное уравнение.
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
; 11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
; 17) 
; 18) 
; 19) 
; 20) 
; 21) 
; 22) 
; 23) 
; 24) 
; 25) 
; 26) 
; 27) 
; 28) 
; 29) 
; 30) 
;
Даны квадратные матрицы 
и 
7.6. Решить матричное уравнение 
тремя способами:
а) найти 
, а затем 
б) с помощью элементарных преобразований привести матрицу 
к виду 
в) методом Гаусса решить систему линейных уравнений 
где 
первый столбец матрицы 
и получить 
разложение матрицы 
а затем, используя полученное разложение 
решить системы 
7.7. Найти обратную матрицу 
как решение матричного уравнения 
Здесь 
7.8. Решить матричное уравнение 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
Линейные пространства
8.1. Найти базис пересечения подпространств 
, если 
натянуть на векторы 
, а 
- на векторы 
и 
.
1) 
;
;
2) 
;
;
3) 
;
;
4) 
;
;
5) 
;
;
6) 
;
;
7) 
;
;
8) 
;
;
9) 
;
10) 
;
;
11) 
;
;
12) 
;
;
13) 
;
;
14) 
;
;
15) 
;
;
16) 
;
;
17) 
;
;
18) 
;
;
19) 
;
;
20) 
;
, 
;
21) 
;
;
22) 
;
;
23) 
;
24) 
;
, 
;
25) 
;
, 
;
26) 
;
, 
;
27) 
;
, 
;
28) 
;
, 
;
29) 
;
, 
;
30) 
;
, 
.
|
|
8.2. Проверить являются ли следующие множества векторов линейными подпространствами.
1) Множество векторов, концы которых лежат на данной прямой (начала векторов совпадают с началом системы координат).
2) Множество векторов, концы которых лежат в первой четверти системы координат (начала векторов совпадают с началом системы координат).
3) Множество векторов, концы которых лежат в первой или третьей четверти системы координат (начала векторов совпадают с началом системы координат).
4) Множество векторов, концы которых лежат в первой или второй четверти системы координат (начала векторов совпадают с началом системы координат).
5) Множество n -мерных векторов 
, у которых 
.
6) Множество n -мерных векторов , у которых координаты с четными номерами равны нулю.
7) Множество n -мерных векторов , у которых координаты с четными номерами делятся на 3.
8) Множество квадратных матриц, у которых элементами главной диагонали являются нули.
9) Множество квадратных матриц, у которых элементы главной диагонали равны между собой.
10) Множество векторов плоскости 
, параллельных некоторой прямой 
.
11) Множество векторов 
, где 
- множество векторов плоскости, параллельных прямой 
- векторов параллельных прямой 
.
12) Множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором 
угол 
.
13) Множество всех многочленов f (t), удовлетворяющих условию f (0)=1, относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.
14) Множество всех многочленов f (t), удовлетворяющих условию f (0)=0, относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.
|
|
15) Множество всех многочленов f (t), удовлетворяющих условию 2 f (0)–3 f (1)=0, относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.
16) Рассмотрим бесконечные последовательности действительных чисел 
, над которыми введены операции сложения и умножения на число:
а) если 
, 
, то 
;
б) если 
- действительное число:
.
Из данного множества последовательностей выделено подмножество, элементы которого удовлетворяют соотношению 
. Является ли оно линейным под пространством?
17) Пусть имеем многочлены n - ой степени 
, над которыми определены обычным образом операции сложения многочленов и умножения на число.
Из множества многочленов степени не выше n выделено подмножество многочленов степени 
. Является ли выделенное множество линейным над пространством?
18) При условии задачи 17 выделено множество многочленов степени не выше k. Является ли выделенное множество линейным пространством?
19) Пусть имеем множество непрерывных функций с обычными операциями сложения функций и умножения функций на число.
Из множества непрерывных функций выделено множество многочленов степени n. Является ли выделенное множество линейным подпространством?
20) При условии задачи 19 выделено множество многочленов степени не выше k. Является ли выделенное множество линейным пространством?
21) Пусть имеем множество квадратных матриц n - го порядка, над которыми определены операции:
а) 
;
б) 
.
Из множества выделены матрицы 2-го порядка. Является ли выделенное множество линейным подпространством?
22) Множество всех многочленов f (x), удовлетворяющих условию 
, относительно обычных операций сложения многочленов и умножения на число.
|
|
23) Множество векторов, параллельных какой-либо плоскости.
24) Является ли множество рациональных чисел подпространством линейного пространства вещественных чисел над полем вещественных чисел?
25) Является ли множество рациональных чисел подпространством линейного пространства вещественных чисел над полем рациональных чисел?
26) Дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными 
. Решение системы будем записывать в виде вектор-столбца. Является ли множество всех решений данной системы под подпространством пространства n- мерных векторов?
27) Множество функций, с обычными операциями сложения их элементов на вещественные числа, n раз дифференцируемых на сегменте [ a, b ].
28) Множество многочленов степени, не превосходящей n, с неотрицательными коэффициентами.
29) Множество натуральных чисел, для которых сумма чисел m и n определена как их произведение 
, а произведение элемента n на вещественное число 
- как степень 
.
30) Множество положительных вещественных чисел относительно операций сложения чисел и умножения на число как в задаче 29.
8.3. Даны векторы 
. Доказать, что векторы 
образуют базис и найти координаты вектора 
в базисе 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейные операторы
9.1. Составить в базисе 
матрицу оператора проектирования векторов пространства на плоскость, заданную уравнением:
1) 2 x + y + z =0; 2) 2 x + y –3 z =0; 3) x +2 y –2 z =0;
4) 3 x + y – z =0; 5) 3 x + y +2 z =0; 6) x +2 y +3 z =0;
7) x –2 y +4 z =0; 8) 4 x – y + z =0; 9) 3 x + y –2 z =0;
10) 3 x – y –3 z =0;
Составить в базисе 
матрицу оператора поворота векторов пространства вокруг вектора 
на угол φ (направление положительное относительно вектора 
):
11) 
; 16) 
;
12) 
; 17) 
;
13) 
; 18) 
;
14) 
; 19) 
;
15) 
; 20) 
.
Составить в базисе матрицу оператора проектирования векторов пространства на вектор 
, заданный координатами в базисе 
:
1) (1;–3;2); 25) (4; 5;–2); 29) (6; 1;–1);
2) (0;1;–4); 26) (–3; 2;4); 30) (4;–3; 1).
3) (1; 3;–5); 27) (3;0;–2);
4) (–3; 1; 1); 28) (2; 1;–5);
9.2. В линейном пространстве многочленов f (x) степени не выше 3 задан оператор A. Проверить, что A – линейный оператор, и найти его матрицы в двух базисах:
а) 
и б) 
.
1) 
a = –1.
2) 
a = 1.
3) 
a = –2.
4) 
a = –1.
5) 
a =2.
6) 
a = –0,5.
7) 
a = –2.
8) 
a = 1.
9) 
a =2.
10) 
a = –2.
11) 
a =2.
12) 
a = 1.
13) 
a = –1.
14) 
a = –2.
15) 
a =3.
16) 
a = 0,5.
17) 
a = 1.
18) 
a = –1.
19) 
a = –3.
20) 
a =2.
21) 
a = 1.
22) 
a = 0,5.
23) 
a =2.
24) 
a = –1.
25) 
a = –2.
26) 
a =2.
27) 
a = 1.
28) 
a = 1.
29) 
a =2.
30) 
a = –3.
9.3. A – матрица оператора в базисе 
. Найти матрицу этого оператора в базисе 
, если известно разложение векторов 
в базисе 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
