Урок (алгебра 7 класс)
Тема урока: «Уравнение и его корни»
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Сегодня на уроке мы с вами сформулируем определения уравнения, корня уравнения
2. Актуализация ЗУН.
Вопросы занятия:
· ввести понятия «уравнение с одной переменной», «решение уравнений с одной переменной»;
· разобрать что значит «решить уравнение»;
· ввести понятие равносильных уравнений.
3. Материал урока
Рассмотрим следующую задачу.
К заданному числу прибавили 9 и получили в сумме 25. Какое число задумано?
Обозначим букой х задуманное число. Тогда по условию задачи
х + 9 = 25
То есть, чтобы найти неизвестное число, мы составили равенство, которое содержит переменную х. Равенства такого вида называются уравнениями с одной переменной.
Теперь надо найти такое значение переменной х, при подстановке которого в наше уравнение получается верное числовое равенство. Для этого переносим 9 в правую часть равенства и получаем:
х = 25 – 9.
х = 16
То есть 16 и есть задуманное число.
Найденное значение переменной х называется решением уравнения, или корнем уравнения.
Таким образом, можем сформулировать следующие определения.
Равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным.
Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем (или решением) уравнения.
Рассмотренное выше уравнение имеет один корень.
Но есть уравнения, которые имеют два, три, четыре и более корней или не имеют корней вообще. Например.
(2+х)(3-х) =0
Определение.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Определение.
Два уравнения называются равносильными, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот – каждый корень второго уравнения является корнем первого, то есть, оба уравнения имеют одни и те же корни.
Равносильными являются также уравнения, которые не имеют корней.
Например, 2х+5=2х-4
А теперь сформулируем свойства, которые используются при решении уравнений.
Свойство 1.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, 2х-4=5 и 2х=5+4
Свойство 2.
Также, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнения, равносильное исходному
7х-4=х+1 и 14х-8=2х+2
4. Устная работа
Итак, мы с вами повторили основные определения и понятия, необходимые для нашего урока. А сейчас применим наши знания при решении упражнений. Упражнения мы с вами будем решать устно.
Каков корень уравнения?
а) x + 2 = 3 г) (x + 2)(x – 2) = 0
б) x + 2 = x + 1 д) x 
= 4
в) x + 2 = 2x – x + 2 е) 
= - 8
ж) = 4
5. Открыли учебники на стр. 27
№111
№114
№ 120
Выполните в тетради самостоятельно.
Решим уравнение
5x – 9 = 12 – 2x
5х+2х=12+9
7х=21
Х=21:7
Х=3
Какие свойства равносильности мы применили?
Домашнее задание
Изучить п. 6 на стр. 25-26, выполнить 117, 118, 121
Лекционный материал
Из истории!
Итак, мы изучаем алгебру. И, конечно, возникает вполне естественный вопрос: а что это такое? Ведь, например, всё ясно с биологией: биос – жизнь, логос – учение, получилось «учение о жизни»; с географией тоже ясно: гео – земля, графо – пишу, «землеописание», геометрия – «землемерие».
Само слово «аль-джебр», от которого произошло наше «алгебра», по-арабски означает «восстановление», но этот перевод пока ничего не объясняет. Ясно, что существует научное определение алгебры. Но мы попробуем сначала ответить на другой вопрос: чем же занимается алгебра? Давайте просто полистаем учебник алгебры и какой-нибудь другой учебник, скажем, литературы. В чём бросающееся в глаза различие? В учебнике алгебры почти нет рисунков – их заменяют чертежи, мало сплошного текста, зато много цифр и ещё больше букв, причём букв латинских. Почему они латинские – понятно. Если бы мы взяли буквы нашего алфавита, то могли бы перепутать обычный текст с текстом чисто математическим. Ну а если взять, например, китайские иероглифы или буквы арабского алфавита, то, наверное, путаницы бы тоже не было, но зато нам пришлось бы учить ещё один алфавит специально для алгебры. А латинские же буквы мы знаем из уроков иностранного языка.
Иногда говорят так: алгебра держится на четырёх китах. (7 слайд)
Уравнение, число, тождество, функция.
Этими четырьмя китами мы занимаемся на уроках, о них написан учебник. И отделить их друг от друга невозможно – они «плавают» вместе. Но всё же сначала повнимательнее присмотримся к одному, потом к другому и т.д.
Начнём с того, что вы, пожалуй, лучше всего знаете – начнём с уравнений.
КИТАБ АЛЬ-ДЖЕБР ВАЛЬ-МУКАБАЛА
Кто и когда придумал первое уравнение?
… Первобытная мама по имени … впрочем, у неё, наверное, и имени-то не было, сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать поровну каждому из своих четырёх детей. По всей вероятности, она не умела считать не только до 12, но даже и до 4 и уж, несомненно, не умела делить одно число на другое. Но поделила она, если этого хотела, поровну, поступая так. Сначала она дала каждому ребёнку по одному яблоку, потом ещё по одному, снова по одному – и тут увидела, что и яблок больше нет, и никто из детей не обижен. Если записать эту историю на современном языке, то получится вот что.
Получается, что мама решила задачу на составление уравнения, обойдясь, конечно, без букв, цифр и ещё каких-либо знаков. Но ведь решила! Значит, ответить на вопрос о том, кто, где и когда решил первое уравнение, невозможно. Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди решали на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. А учебные задачи, которые мы сегодня решаем при помощи уравнений, были хорошо известны ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции.
Историческая справка
Ещё древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них ещё не было знаков равенства и знаков действий (вроде наших плюса, минуса), то записывать уравнения они, конечно, не умели. Первый по-настоящему серьёзный шаг в этом направлении сделал замечательный александрийский (по названию большого культурного, торгового и научного центра древнего мира – города Александрии; этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта) учёный Диофант, использовавший в своём творчестве достижения египтян, вавилонян и греков.
Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э. Диофант придумал обозначения для неизвестных. Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов.
В средневековой Европе мысли Диофанта получили большое распространение и развитие. В 17 – 18 вв. буквами для обозначения неизвестных (переменных) стали пользоваться уже все математики. Приёмы решения уравнений попали в Европу особым путём, и тут нам придётся обратиться к очень интересным страницам истории средних веков, страницам, о которых в школьных учебниках сказано кратко.
В 7 – 8 в. н. э. арабы завоевали огромные пространства и создали на них государство, охватывавшее территорию, на которой ныне расположены многие государства Северной Африки (включая Египет) и Азии (Иран, Сирия, Ирак, часть республик Закавказья и Средней Азии, часть Афганистана). В 762 г. Столицей этого государства – халифата стал город Багдад, нынешняя столица Ирака.
Народы, завоёванные арабами, по культурному уровню и знаниям были значительно выше завоевателей. Особенно это относилось к сирийцам, успевшим к тому времени перевести на свой язык труды великих учёных Древней Греции – Аристотеля и Платона, Гиппократа и Галена, Евклида и Архимеда и многих других. Правители халифата хорошо понимали, что у древних стоит и нужно учиться.
В Багдаде был создан «Дом мудрости», куда по воле халифа собрали образованных людей со всех сторон халифата. Эти мудрецы не только переводили труды своих великих предшественников, но и творили сами. Одним из них был Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми (787 – ок. 850). Аль - Хорезми – не фамилия, это своеобразное прозвище, обозначающее, что Мухаммед, сын Мусы, происходит из Хорезма. Хорезм, крупный оазис в низовьях Амударьи был заселён людьми в глубочайшей древности, там ещё в 1 тыс. до н. э. существовала высокая культура. В 8 в. арабы завоевали Хорезм и уничтожили эту древнюю культуру.
Об аль – Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное – он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр Валь-мукабала». Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра.
Тест. Уравнение и его корни.
Вариант №1
А1. Укажите уравнение, корнем которого является число 3.
1) (x – 3)(x + 3) = 2 2) (x + 2)(x – 1) = 10
3) (x + 3) = 0 4) = - 3.
А2. Какое из следующих уравнений имеет корни?
1) x + 2 = x + 3
2) = - 2
3) x = 0
4) x = - 4
А3. Какие из уравнений
А. (x – 4)(x + 4) = 0 Б. x = 16 В. x – 4 = 0 являются равносильными?
1) А, Б и В 2) никакие
3) Б и В 4) А и Б