§4. Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля. Связь потенциала с напряжённостью поля. Принцип суперпозиции для потенциала.
Электростатические силы являются потенциальными - их работа А 12по перемещению частицы с зарядом q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, определяется только начальным и конечным положением частицы и пропорциональна величине q перемещаемого заряда.
| По определению разностью потенциалов j1 - j2между точками 1 и 2 называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемещении электрического заряда q, к величине этого заряда q j1 - j2= A 12/ q. (4.1) |
Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому (отражено кружком на значке интеграла) пути L равна нулю, т.е.
 , (4.2)
|
где dA = 
- элементарная работа сил поля на перемещении 
(помним?, что интеграл по смыслу просто сумма элементарных, т.е. малых величин). Силовое поле, обладающее свойством (4.2), является потенциальным. Подставив dA в (4.2), получим
 (4.3)
|
Интеграл  называется циркуляцией вектора напряженности.
|
Силовое поле E, циркуляция которого равна нулю, является в силу (4.2) также потенциальным.
Величина работы A 12 сил поля, равная по (4.1)
A 12 = q (j1 - j2), (4.4)
равна, с другой стороны, убыли потенциальной энергии частицы в потенциальном поле сил
А 12 = -Δ W n= W n1 - W n2. (4.5)
Из (4.4) и (4.5) следует связь потенциала с потенциальной энергией Wn заряда q в этой точке
. (4.6)
Введенное понятие разности потенциалов (4.1) и связь (4.6) потенциала j с потенциальной энергией Wn не дают однозначного определения j, так как добавление к j любой постоянной величины не изменяет разности потенциалов (и работы), а Wn принципиально задана с точностью до некоторой постоянной. Разность же потенциалов (4.1) определена однозначно, так как при вычитании постоянная сокращается. Если выбрать точку и задать в ней значение j, то после этого потенциал в любой другой точке поля будет иметь определенное значение. Для заряженных тел, занимающих ограниченный объем, удобно считать потенциал равным нулю на бесконечном удалении от зарядов.
|
|
Единицей измерения потенциала (и разности потенциалов) является 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл).
Работа по перемещению точечного положительного заряда q из одной точки поля в другую вдоль оси х на элементарное расстояние 
равна q 
. С другой стороны, эту работу можно выразить через разность потенциалов на концах отрезка : q (
) =- q 
. Приравнивая оба выражения для работы, получим 
, откуда связь потенциала с напряженности электростатического поля имеет вид
 (4.7)
|
где частная производная соответствует дифференцированию только по перемещению по оси х (рис.4.1). Найдя по аналогии с (4.8) проекции вектора 
на оси y и z, можно записать
(4.8)
Рис.4.1
где 
единичные векторы координатных осей x, y и z.
В математике вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции П, называется градиентом (обозначается 
) и формулу (4.8) записывают в виде
(4.9)
т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.
Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону уменьшения потенциала. При перемещении dх по эквипотенциальной поверхности d j = 0 и по (4.8) Ех = 0, т.е. вектор не имеет составляющей, касательной к эквипотенциальной поверхности. В однородном электрическом поле эквипотенциальные поверхности представляют собой параллельные плоскости, пересекаемые под прямым углом силовыми линиями.
|
|
В этом случае 
(4.10)
где U = j1 - j2, d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами j1 и j2.
Напряженность 
электростатического поля в объеме и на поверхности проводника равна нулю =0, тогда по (4.7) и d j = 0 и потенциал во всех точках проводника постоянен: объем и поверхность проводника всегда эквипотенциальны.
По напряжённости поля точечного заряда Q и (4.7) находим потенциал на расстоянии r от заряда
 (4.11)
|
при этом считаем, что j ® 0 при r ® ¥.
Для потенциала справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого любым числом точечных зарядов, равен сумме потенциалов полей, создаваемых в рассматриваемой точке пространства каждым зарядом в отдельности
(4.12)
Формулы (4.11) и (4.12) позволяют в принципе рассчитать потенциал поля любой системы зарядов, занимающей ограниченный объем:
. (4.12а)
Рассуждения, поясняющие метод вычислений, совершенно аналогичны приведенным в § 2, следует лишь заменить в них величину вектор Е на скаляр j.
Связь напряженности и потенциала (4.7) - (4.9) используется в ряде случаев для расчета потенциала. В частности, вычисление потенциала поля заряженной с поверхностной плотностью s бесконечной плоскости на расстоянии х от нее даёт
|
|
. (4.13)
Если положить j = 0 при х = 0, то const = 0.
На практике сначала вычисляют потенциал j, а затем по (4.7) находят проекции поля на оси выбранной системы координат.
Решение задач
ЗАДАЧА 3
3. Кольцо радиусом R = равномерно заряжено с линейной плотностью t Определить потенциал j точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из центра кольца, отстоящей на расстоянии h от его центра.
Решение. Разобьём кольцо на элементарные точечные заряды d q. Запишем потенциал точечного заряды d q в т. А. По (4.11)
По теореме Пифагора 
. Тогда
,
а потенциал, создаваемый всеми зарядами d q кольца L в т. А на перпендикуляре по (4.11) (4.12а), равен
где все величины в интеграле постоянные (кроме d q) и их можно вынести за знак интеграла
.
Интеграл 
просто равен заряду полному q кольца q=t∙L=t∙ 2 πr. Окончательно
