§5. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Выделим на поверхности S малый элемент dS (рис. 5.1). Пусть n - единичный вектор нормали к dS, a j угол между векторами Е и n. При вычислении некоторых поверхностных интегралов оказывается удобным представить дифференциал поверхности в векторной форме. По определению, вектором элемента площади 
называется dS × n, а элементарным потоком dФ вектора Е через площадку dS
dФ = (Е d S) = (E n) dS = E cosj dS. (5.1)
Также по определению, потоком вектора Е
Рис. 5.1 через поверхность S называется поверхностный
интеграл
. (5.2)
В случае замкнутой поверхности (рис. 5.1) поток (5.2)
(5.3)
В качестве нормали выбирается внешняя нормаль к поверхности.
Пусть точечный заряд q окружен произвольной замкнутой поверхностью S. Напряжённость электростатического поля Е в любой точке поверхности направлена вдоль радиус-вектора данной точки и вычисляется в соответствии с законом Кулона (2.4). В пределах малой площадки dS напряжённость электростатического поля можно считать постоянной. Вычислим поток (3) вектора Е через замкнутую поверхность.
. (5.4)
В случае, когда поверхность S сферическая с центром в точке нахождения заряда q, вектора и 
совпадают по направлению и 
, а величина поля Е (2.4) одинакова по всей поверхности. Тогда вычисление интеграла (1.8) упрощается
. (5.5)
Результат вычисления потока (5.3) вектора Е через произвольную замкнутую поверхность также оказывается равным (5.5), т.е.
. (5.6)
Кроме того, если внутри поверхности находятся несколько точечных зарядов, то в правой части (5.6) под q следует понимать алгебраическую сумму зарядов внутри поверхности
. (5.7)
Если внутри поверхности находится заряд, распределённый по объёму с плотностью r, то суммарный заряд, внутри поверхности равен 
и (5.7) для этого случая запишется
|
|
. (5.8)
Уравнения (5.6) - (5.8) представляют собой выражения теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме:
поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов внутри поверхности к электрической постоянной e 0.
Теорема Гаусса может быть использована для вычисления напряжённости электростатического поля. Однако используется она в основном для случаев симметричного распределения зарядов, когда вычисление интегралов в правой части (5.6) - (5.8) достаточно простое.
Из уравнения (5.8) можно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет поле Е
. (5.9)
Уравнение (5.9), в отличие от уравнений (5.6) - (5.8), позволяет вычислить поле любой системы зарядов.
Решение задач
ЗАДАЧА 4.
4. Вычислить поле Е равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда s.
РЕШЕНИЕ.
Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда
одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).
Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,
|
|
С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора 
можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.
Тогда
откуда
(1.26)
Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)
(1.27)