Деление окружности на равные части

В практике часто приходится делить окружность на равные части, например при сверлении отверстий во фланцах для болтов и т.д.

Чтобы разделить окружность на четыре, восемь и т.д. равное количество частей, в окружности заданного радиуса R необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD, таким образом, окружность разделится на четыре равные части –рисунок 7(а). Если полученные при этом углы разделить пополам, то окружность окажется разделенной на восемь равных частей – рисунок 7(а).

а) б)

Рисунок 7– Деление окружности на 4 и 8 частей (а), на 3 и 6 частей (б)

Чтобы разделить окружность на три равные части, необходимо из любой точки конца диаметра (например, В) провести радиусом R дугу до пересечения с окружностью в точках M и N. Отрезок MN – искомая сторона правильного вписанного треугольника AMN (рисунок 6(б). В свою очередь, отрезки AD = AK и DC=KF соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки А противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пресечения с окружностью или измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на основной окружности (рисунок 6(б).

Примеры деления окружности на пять и десять частей, на семь частей, деление окружности на n равных частей достаточно подробно рассмотрены в справочных материалах по инженерной графике (список рекомендуемой литературы представлен на стр.41).

Сопряжения

При выполнении чертежей часто требуется строить сопряжения между двумя прямыми, между прямой и дугой окружности заданного радиуса, между двумя дугами окружностей одинаковых или различных радиусов. Во всех случаях задача на сопряжение сводится к нахождению центра сопряжения и точек сопряжения, а также определения сопрягаемого элемента и сопрягающего. Вычерчивание сопрягающего элемента связано с решением той или иной геометрической задачи на построение и основано на положениях геометрии о множествах точек на плоскости. Итак, сопряжением называется плавный переход от одной прямой линии к другой, от прямой линии к окружности и от окружности к окружности.

В таблице 4 приведены наиболее часто встречающиеся типы сопряжений, полный перечень различных случаев сопряжений и построение касательных представлены в справочных материалах по инженерной графике.

Таблица 4 – Правила построения сопряжений

Вид сопряжения	Алгоритм решения	Графическое представление
1 Сопряжение двух прямых дугой окружности заданного радиуса	На расстоянии заданного радиуса от искомых прямых а и в проводят параллельные им прямые с и d, пересекающиеся в точке О, которая и является центром дуги сопряжения. Для определения точек сопряжения А и В необходимо из точки сопряжения О опустить препендикуляры на прямые а и в. Кратко алгоритм решения можно представить так: 1) с//а; 2) d//в; 3) О=с∩d; 4) ОА⊥а; 5) ОВ⊥в. На примере показано сопряжение острого угла, аналогично строят сопряжение тупого и прямого угла
2 Сопряжение окружности и прямой	Из центра данной окружности проводят вспомогательную дугу радиусом R2=R1+R и вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой и удаленную от нее на расстояние R. В пересечении вспомогательной дуги и вспомогательной прямой находится точка О – центр дуги сопряжения. Для определения точек сопряжения из центра О опускают перпендикуляр на заданную прямую, получают первую точку сопряжения – А. Для определения второй точки сопряжения – В, проводят прямую, соединяющую центр сопряжения О с центром заданной окружности О1. На примере показано внешнее касание прямой и окружности, т.е. прямая находится за пределами контура окружности, если прямая находится внутри контура окружности, то касание называется внутренним, строится оно аналогично рассмотренному примеру, с той лишь разницей, что в случае внутреннего касания дуга вспомогательной окружности определяется радиусом R2=R1 – R

Окончание таблицы 4

3 Внешнее сопряжение двух окружностей дугой радиуса R.	Для определения центра сопряжения О строят вспомогательные дуги из центров данных окружностей О1 и О2.. Радиусы этих дуг показаны на чертеже. Для нахождения точек сопряжения А и В проводят прямые, соединяющие центр сопряжения О с центром О1 для одной из окружностей и аналогичную прямую для второй окружности. На пересечении полученных линий с контуром соответствующих окружностей находятся точки сопряжения А и В.
4 Внутреннее сопряжение двух окружностей дугой радиуса R.	Для выполнения внутреннего сопряжения алгоритм построения аналогичен предыдущему примеру. Изменяются только радиусы вспомогательных дуг окружностей для определения центра сопряжения: Rвсп.1=R – R1; Rвсп.2=R – R2;
5 Смешанное сопряжение двух окружностей дугой радиуса R.	В смешенном сопряжении присутствуют элементы внешнего и внутреннего сопряжения, поэтому алгоритм построения аналогичен для данных типов сопряжения. Т.е. для внутреннего сопряжения радиус вспомогательной окружности Rвсп.1=R – R1, а для внешнего сопряжения – Rвсп.2=R+R2;

Задание на построение сопряжений выполняют на формате А4. Оно включает вычерчивание фигуры в заданном масштабе с обязательным построением центров сопрягающих дуг и точек сопряжения.

Перед выполнением задания необходимо внимательно ознакомиться с заданием, определить, какие типы сопряжения представлены в данном варианте. Подготовив формат А4, начертить внутреннюю рамку и основную надпись, а на оставшемся графическом пространстве листа выполнить компоновку изображения (графическое пространство листа должно быть занято изображением примерно на 85%).Построение начинается с проведения осевых и центровых линий, далее, тонкими линиями вычерчиваются сопрягаемые окружности и только после этого, по приведенному в таблице 4 алгоритму, находятся центры сопряжения и точки сопряжения, вычерчиваются сопрягающие дуги.

Варианты задания представлены на рисунках 8–13, а пример оформления графической работы «Сопряжение линий» – на рисунке 14.

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4

Рисунок 8 – Варианты 1– 4 графической работы «Сопряжения»

Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8

Рисунок 9 – Варианты 5–8 графической работы «Сопряжения»

Вариант 9	Вариант 10
Вариант 11	Вариант 12

Рисунок 10 – Варианты 9 –12 графической работы «Сопряжения»

Вариант 13	Вариант 14
Вариант 15	Вариант 16

Рисунок 11 – Варианты 13 –16 графической работы «Сопряжения»

Вариант 17	Вариант 18
Вариант 19	Вариант 20

Рисунок 12 – Варианты 17–20 графической работы «Сопряжения»

Вариант 21	Вариант 22
Вариант 23	Вариант 24

Рисунок 13 – Варианты 21–24 графической работы «Сопряжения»

Рисунок 14 – Пример выполнения и оформления графической работы «Сопряжения»