Лабораторная работа 4
Тема: Проверка статистических гипотез.
Цель: Получить понятия о проверке статистических гипотез о виде распределения, о совпадении средних и дисперсий..
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
На основании материала выборки следует проверить статистическую гипотезу H0. Гипотеза H0 может быть, например, гипотезой о равенстве законов распределения или гипотезой о параметрах распределения случайной величины.
Правило, устанавливающее условия, при которых проверяемая гипотеза H0 принимается или отвергается (принимается альтернативная гипотеза H1) называется статистическим критерием. Для проверки гипотезы с помощью этого критерия (правила) вычисляется контрольная величина Т.
По заданному уровню значимости α определяется Tкри т.
Если выполняется равенство T < Tкрит, то гипотеза H0 принимается, в противоположном случае отвергается
При проверке гипотез возможны следующие результаты:
| Гипотеза H0 | верная | ложная |
| опровергается | Верная гипотеза отвергается (ошибка первого рода), событие А. | ложная гипотеза отвергается (правильное решение) |
| принимается | Верная гипотеза принимается (правильное решение) | ложная гипотеза принимается (ошибка второго рода), событие В. |
При проверке статистических гипотез всегда возможно допустить ошибку.
Ошибка первого рода возникает, когда отвергается гипотеза H0, хотя она верна. Уровень значимости α это вероятность того, что допускается ошибка первого рода, т.е. Р(А)= α. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отвергнуть верную гипотезу. Обычно α полагают равным 0.05 (5%-ный уровень значимости) или 0.01 (1%-ный уровень значимости)
Ошибка второго рода возникает, когда принимается гипотеза H0, хотя она неверна (ложная). Вероятность недопущения ошибки второго рода 1-Р(В) называется мощностью критерия.
Результат проверки не доказывает истинность или ложность гипотезы, а говорит лишь о том, что экспериментальные данные противоречат или не противоречат ей.
На практике часто производится проверка следующих гипотез:
· О совпадении двух распределений (например, критерий согласия Пирсона χ2 (хи–квадрат));
· О равенстве двух дисперсий (критерий Фишера).
· О равенстве двух средних (критерий Стьюдента (t – критерий)).
Процедуру проверки совпадения двух распределений используют для проверки соответствия фактического распределения теоретическому (пуассоновскому, показательному, гамма-распределению, нормальному, равномерному и др.) осуществляется с помощью специальных критериев, называемых критериями согласия.
Наиболее распространен критерий согласия Пирсона χ2 (хи–квадрат).
При проверке по этому критерию сначала определяют меру расхождения фактического распределения от предполагаемого теоретического:
(4.1)
где k – количество разрядов в которые сведены результаты опытов; N – общее количество наблюдений; mi – количество наблюдений в i -том разряде; рi – теоретическая вероятность (по предполагаемому закону распределения) i-го разряда.
Далее определяется число степеней свободы r:
(4.2)
где:
с – число параметров распределения. Для пуассоновского и показательного законов распределения с =1; для непрерывного нормального, равномерного − с =2; для непрерывного дискретного − с =0.
По заданным α и r с помощью специальной таблицы находим χ2крит. В случае отсутствия таблиц можно использовать встроенную функцию Excel ХИ2ОБР, которая имеет следующий формат: