Математическое ожидание и дисперсия случайной величины




Распределение Коши

Распределение Коши – это экзотическое распределение часто употребляют с иллюстративной целью вследствие его необычного свойства: дисперсия распределения Коши оказывается бесконечной.

Отличительной особенностью распределения Коши являются очень тяжелые хвосты. В частности, не существует ни один из моментов этого распределения, даже математическое ожидание.

Область x -Ґ < x < Ґ
Параметры x0 - параметр расположения; h - парамерт масштаба
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание Не существует
Дисперсия Не существует

 

График f(x) при x0 = 10, h = 0.8

 

Пример распределения Коши

Предположим, что имеется программа, которая вводит массив, затем его сортирует методом простого выбора, а после этого выводит. При этом число элементов в массиве произвольно (условимся, что оно подчинено равномерному распределению). Тогда быстрота работы программы будет подчиняться распределению Коши.

Доказательство

Пусть n - количество элементов в массиве. При вводе и выводе массива потребуется по n "тяжеловесных" по времени операций (ввод и вывод). На этапе сортировки производится сравнение каждого элемента кроме последнего со всеми остальными (следует заметить, что алгоритм можно улучшить, если не "пробегать" по уже отсортированной части), т. е. имеем еще (n - 1)(n - 1) "тяжеловесных" по времени операций. В итоге получаем n2 - 2n + 1 + 2n = n2 + 1 "задержек" времени. Так как быстрота работы программы является величиной, обратно пропорциональной времени, то в итоге получим . Если закрыть глаза на отсутствие p, то последняя формула соответствует формуле плотности для распределения Коши при нулевом параметре расположения и единичном параметре масштаба.

Рассмотрим пример, где предположим, что артиллерийское орудие расположено на единичном расстоянии от сколь угодно длинной стены. Лафет орудия вращается с постоянной скоростью. Изобразим это условно на рисунке 1.

 

Рисунок 1 – Орудие

 

На каждом обороте в случайный момент времени из орудия производится выстрел. Вычислим, как при этом будут распределены попадания по стене.

Обозначим через букву θ угол, на который повернулся ствол орудия относительно начального положения (по нормали к стене), а через букву χ – расстояние вдоль стены от ее середины до точки попадания. Снаряд попадет в стену только при условии, что θ заключено в пределах от –π/2 до +π/2. В силу того что все значения углов равновероятны, для величины θ используется равномерное распределение:

, (1)

при условии, что: .

Поскольку:

, (2)

то: (3)

Таким образом, плотность распределения величины χ равна:

, (4)

при условии, что: .

 

Эта функция изображена на рисунке 2. Видно, что эта функция симметрична относительно нуля, и ее среднее значение поэтому равно нулю.

 

Рисунок 2 – Функция плотности распределения

 

Доказать это можно с помощью обычного выражения:

(4)

Из этого следует, что:

(5)

Тогда дисперсия такого распределения будет:

(6)

Следовательно, что .

Пусть некая общая теорема доказана в предположении, что рассматриваемая величина обладает конечной дисперсией. Если эта теорема окажется несправедливой для распределения Коши, то это будет означать,

что сделанное предположение необходимо.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Дискретное распределение вероятности случайной величины χ полностью задается множеством значений вероятности или функцией распределения. Непрерывное распределение полностью задается его плотностью . Во многих случаях бывает необходимо выделить наиболее важные свойства распределения. Для этого используются такие характеристики, как среднее значение, дисперсия, асимметрия и другие.

Математическое ожидание случайной величины χ – есть среднее значение χ с учетом вероятности (или плотности вероятности) осуществления каждого значения χ.

Для дискретного распределения вычисляется по формуле (7):

(7)

Для непрерывного распределения вычисляется по формуле (8):

(8)

Принято обозначать через μ – так что в дальнейшем будем использовать эту величину как характеристику положения распределения χ.

Так же, есть другое определение математического ожидания: математическое ожидание функции случайной величины χ есть средняя величина по всем возможным значениям переменной χ, то есть:

, (9)

или

. (10)

 

Асимметрия

Асимметрия характеризуется параметром:

(11)

Асимметрия отрицательна, если сильно вытянуто влево от μ, и положительна, если вытянуто вправо от μ.Если распределение симметрично, то параметр γ1 равен нулю.

 

Дисперсия

При предположении, что формула (12) верна:

(12)

получим, что дисперсия χ равна .

Общепринято, что обозначается она через или . Корень квадратный из этой величины σ называют среднеквадратичным или стандартным отклонением χ и используют как меру разброса χ относительно среднего значения μ.

Метод Коши

Пусть в точке требуется определить направление наискорейшего спуска (то есть направление наибольшего локального уменьшения f(x)). Разложим f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки и отбросим члены второго порядка по и выше.

Локальное уменьшение f(x) определяется вторым слагаемым, то есть наибольшее уменьшение f(x) будет тогда, когда будет иметь наибольшую отрицательную величину. Этого можно добиться выбором S(k): , тогда второе слагаемое примет вид: .

Этот случай соответствует наискорейшему локальному спуску .

Недостатки:

· остаётся вопрос выбора ;

· вблизи точки минимума медленно сходится, так как .

будем находить путём минимизации функции f(x(k+1)) в направлении.

Метод обладает большой надёжностью но медленную сходимость вблизи точки минимума устранить нельзя. Поэтому метод самостоятельно обычно не используется, а используется как предварительная процедура для более сложных методов.

Достоинсиво:

на каждой итерации - выполняется свойство убывания функции на каждой итерации.

 

 

Алгоритм метода.

1) Задать - начальное приближение, параметр окончания работы алгоритма Коши, параметр окончания работы одномерного алгоритма, количество переменных и максимальное количество итераций соответственно.

2) Вычислить

3) Если , то xk=x* иначе, если , то xk=x*. Перейти к п. 4.

4) Решить задачу минимизации функции f(x(k+1)) и найти используя

5) Вычислить следующее приближение по формуле

6) Если, то xk =x* иначе k=k+1 и перейти к п. 2.

Формулы Коши.

Если f(z) аналитическая в области D и непрерывная в где - граница области D, то имеют место:

1) интегральная теорема Коши:

2) интегральная формула Коши:

3) интегральное представление для производных:

Степенные ряды

Радиус сходимости степенного ряда (формула Коши-Адамара),

Круг сходимости:


3.Практическая часть

 

3.1 Получение 1000 возможных значений случайных величин X и Y, распределенных по закону Коши.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2025 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-11-10 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: