Распределение Коши
Распределение Коши – это экзотическое распределение часто употребляют с иллюстративной целью вследствие его необычного свойства: дисперсия распределения Коши оказывается бесконечной.
Отличительной особенностью распределения Коши являются очень тяжелые хвосты. В частности, не существует ни один из моментов этого распределения, даже математическое ожидание.
Область x | -Ґ < x < Ґ |
Параметры | x0 - параметр расположения; h - парамерт масштаба |
Плотность (функция вероятности) | ![]() |
Математическое ожидание | Не существует |
Дисперсия | Не существует |
График f(x) при x0 = 10, h = 0.8
Пример распределения Коши
Предположим, что имеется программа, которая вводит массив, затем его сортирует методом простого выбора, а после этого выводит. При этом число элементов в массиве произвольно (условимся, что оно подчинено равномерному распределению). Тогда быстрота работы программы будет подчиняться распределению Коши.
Доказательство
Пусть n - количество элементов в массиве. При вводе и выводе массива потребуется по n "тяжеловесных" по времени операций (ввод и вывод). На этапе сортировки производится сравнение каждого элемента кроме последнего со всеми остальными (следует заметить, что алгоритм можно улучшить, если не "пробегать" по уже отсортированной части), т. е. имеем еще (n - 1)(n - 1) "тяжеловесных" по времени операций. В итоге получаем n2 - 2n + 1 + 2n = n2 + 1 "задержек" времени. Так как быстрота работы программы является величиной, обратно пропорциональной времени, то в итоге получим . Если закрыть глаза на отсутствие p, то последняя формула соответствует формуле плотности для распределения Коши при нулевом параметре расположения и единичном параметре масштаба.
|
Рассмотрим пример, где предположим, что артиллерийское орудие расположено на единичном расстоянии от сколь угодно длинной стены. Лафет орудия вращается с постоянной скоростью. Изобразим это условно на рисунке 1.
Рисунок 1 – Орудие
На каждом обороте в случайный момент времени из орудия производится выстрел. Вычислим, как при этом будут распределены попадания по стене.
Обозначим через букву θ угол, на который повернулся ствол орудия относительно начального положения (по нормали к стене), а через букву χ – расстояние вдоль стены от ее середины до точки попадания. Снаряд попадет в стену только при условии, что θ заключено в пределах от –π/2 до +π/2. В силу того что все значения углов равновероятны, для величины θ используется равномерное распределение:
, (1)
при условии, что: .
Поскольку:
, (2)
то: (3)
Таким образом, плотность распределения величины χ равна:
, (4)
при условии, что: .
Эта функция изображена на рисунке 2. Видно, что эта функция симметрична относительно нуля, и ее среднее значение поэтому равно нулю.
Рисунок 2 – Функция плотности распределения
Доказать это можно с помощью обычного выражения:
(4)
Из этого следует, что:
(5)
Тогда дисперсия такого распределения будет:
(6)
Следовательно, что .
Пусть некая общая теорема доказана в предположении, что рассматриваемая величина обладает конечной дисперсией. Если эта теорема окажется несправедливой для распределения Коши, то это будет означать,
|
что сделанное предположение необходимо.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Дискретное распределение вероятности случайной величины χ полностью задается множеством значений вероятности или функцией распределения. Непрерывное распределение полностью задается его плотностью . Во многих случаях бывает необходимо выделить наиболее важные свойства распределения. Для этого используются такие характеристики, как среднее значение, дисперсия, асимметрия и другие.
Математическое ожидание случайной величины χ – есть среднее значение χ с учетом вероятности (или плотности вероятности) осуществления каждого значения χ.
Для дискретного распределения вычисляется по формуле (7):
(7)
Для непрерывного распределения вычисляется по формуле (8):
(8)
Принято обозначать через μ – так что в дальнейшем будем использовать эту величину как характеристику положения распределения χ.
Так же, есть другое определение математического ожидания: математическое ожидание функции случайной величины χ есть средняя величина
по всем возможным значениям переменной χ, то есть:
, (9)
или
. (10)
Асимметрия
Асимметрия характеризуется параметром:
(11)
Асимметрия отрицательна, если сильно вытянуто влево от μ, и положительна, если
вытянуто вправо от μ.Если распределение симметрично, то параметр γ1 равен нулю.
Дисперсия
При предположении, что формула (12) верна:
(12)
получим, что дисперсия χ равна .
Общепринято, что обозначается она через или
. Корень квадратный из этой величины σ называют среднеквадратичным или стандартным отклонением χ и используют как меру разброса χ относительно среднего значения μ.
|
Метод Коши
Пусть в точке требуется определить направление наискорейшего спуска (то есть направление наибольшего локального уменьшения f(x)). Разложим f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки и отбросим члены второго порядка по
и выше.
Локальное уменьшение f(x) определяется вторым слагаемым, то есть наибольшее уменьшение f(x) будет тогда, когда будет иметь наибольшую отрицательную величину. Этого можно добиться выбором S(k):
, тогда второе слагаемое примет вид:
.
Этот случай соответствует наискорейшему локальному спуску .
Недостатки:
· остаётся вопрос выбора ;
· вблизи точки минимума медленно сходится, так как .
будем находить путём минимизации функции f(x(k+1)) в направлении.
Метод обладает большой надёжностью но медленную сходимость вблизи точки минимума устранить нельзя. Поэтому метод самостоятельно обычно не используется, а используется как предварительная процедура для более сложных методов.
Достоинсиво:
на каждой итерации - выполняется свойство убывания функции на каждой итерации.
Алгоритм метода.
1) Задать - начальное приближение, параметр окончания работы алгоритма Коши, параметр окончания работы одномерного алгоритма, количество переменных и максимальное количество итераций соответственно.
2) Вычислить
3) Если , то xk=x* иначе, если
, то xk=x*. Перейти к п. 4.
4) Решить задачу минимизации функции f(x(k+1)) и найти используя
5) Вычислить следующее приближение по формуле
6) Если, то xk =x* иначе k=k+1 и перейти к п. 2.
Формулы Коши.
Если f(z) аналитическая в области D и непрерывная в где
- граница области D, то имеют место:
1) интегральная теорема Коши:
2) интегральная формула Коши:
3) интегральное представление для производных:
Степенные ряды
Радиус сходимости степенного ряда (формула Коши-Адамара),
Круг сходимости:
3.Практическая часть
3.1 Получение 1000 возможных значений случайных величин X и Y, распределенных по закону Коши.