Решение типового примера

Решение матричных игр 2х2 в смешанных стратегиях и моделирование результатов

Решение типового примера

Матричную игру 2х2 решить в смешанных стратегиях:

1) аналитически (для игрока А); геометрически (для игрока В)

2) провести моделирование результатов игры с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел, разыграв 30 партий; определить относительные частоты использования чистых стратегий каждым игроком и средний выигрыш, сравнив результаты с полученными теоретически в п.1.

Игра задана платежной матрицей: .

Решение:

1. Найдем аналитически оптимальную стратегию игрока А и соответствующую цену игры Х*(р₁, р₂), n.

Так как Х* – оптимальная, то она должна гарантировать средний выигрыш игроку А, равный цене игры при любом поведении игрока В:

для стратегии В₁: ;

для стратегии В₂: .

С учетом того, что сумма компонентов смешанной стратегии равна 1, получаем систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе: или .Значит:

Итак: , n = 9.

Найдем геометрически оптимальную смешанную стратегию игрока В: Y*(q₁, q₂).

Стратегию А₁ изобразим точками с ординатами 10 и 7 на прямых В₁ и В₂ соответственно. Стратегию А₂ – точками с ординатами 8 и 11 (см. рис. 1).

Каждой точке на отрезке [0; 1] соответствует смешанная стратегия игрока В. Среди них оптимальной будет та, которая определяется самой низкой точкой ломанной А₁МА₂, т.е. точкой М. Для нахождения компонентов оптимальной стратегии игрока В надо найти координаты точки М, причем если М (х, у), то q₁ = 1 – х, q₂ = х, n = y. Для этого найдем уравнения прямых А₁А₁ и А₂А₂, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки:

.

Так как А₁(0; 10) и А₁(1; 7), то

, , , .

Т.е. уравнение прямой А₁А₁ имеет вид: .

Рис. 3. Геометрическая интерпретация матричной игры для игрока В

Так как А₂(0; 8) и А₂(1; 11), то

, , , .

Т.е. уравнение прямой А₂А₂ имеет вид: .

Найдем координаты точки М, решив систему уравнений прямых А₁А₁ и А₂А₂:

Итак, , значит n = 9, или .

Ответ: , , n = 9.

2. Проведем моделирование результатов решения с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел (см. приложение). Для 30 партий хватит 60 чисел, на основе которых будут выбираться стратегии игроками. Используемые случайные числа сгенерированы в MS Excel функцией =СЛЧИС(). В приложении достаточно много чисел, но использовать для моделирования можно любые 60, выбранные произвольно с любого места таблицы. Мы возьмем числа из первого блока (для игрока А используется 1, 3 и 5 столбики).

Будем выбирать стратегии игроков, используя геометрическое определение вероятности. Так как все случайные числа из отрезка [0; 1], то чтобы стратегия А₁ появлялась примерно в половине случаев, будем ее выбирать если случайное число меньше 0,5; в остальных случаях выбирается стратегия А₂. Аналогично для игрока В. Стратегию В₁ будем выбирать, если соответствующее случайное число меньше , в противном случае выбираем стратегию В₁.

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом, в результате моделирования в 30 партиях цена игры (средний выигрыш) равен 9,2. Этот результат согласуется с теоретической ценой игры 9.

Частоты использования игроками своих чистых стратегий соответственно равны:

Х(18/30;12/30), Y(21/30; 9/30) или

Х(0,6; 0,4), Y(0,7; 0,3)

Сравнивая с теоретическими оптимальными стратегиями Х*(0,5; 0,5) и
Y*(0,67; 0,33) можно сделать вывод, что результаты моделирования достаточно близко им соответствуют даже для небольшого количества партий.