Задача о силе давления жидкости.

Тема: Приложение определенных интегралов

Определенный интеграл широко используется при вычислениях различных геометрических и физических величин: вычисление площади плоских фигур, вычисление объемов тел вращения, вычисление длины дуги, вычисление пути, пройденного телом, вычисление работы силы.

I. Вычисление площадей плоских фигур.

Фигура, ограниченная кривой y = f(x), осью 0х, прямыми х = а, х = в называется криволинейной трапецией.

	Расположение графиков функций на координатной плоскости	Формула для вычисления площади
1)		Криволинейная трапеция ограничена осью Ох и лежит над ней.
2)		Криволинейная трапеция ограничена осью Ох и лежит под ней.
3)		Фигура ограничена двумя кривыми и
4)		Фигура не ограничена осью Ох

№1. Используя данные из таблицы, для каждого рисунка напишите формулу, по которой вычисляется площадь заштрихованной фигуры.

1) 2) 3) 4)

Алгоритм нахождения площади фигуры:

1. Построить на одной координатной плоскости графики данных функций.

2. Заштриховать фигуру, ограниченную построенными линиями.

3. Найти точки, ограничивающие фигуру справа и слева.

4. Найти площадь фигуры по соответствующей формуле.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: и

Решение: Построим графики данных функций

			-1
			-1

- парабола, ветви вверх

			-1		-2
	-2	-1	-1

№2. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: и

II. Применение определенного интеграла при решении физических и технических задач.

1. Задача о вычислении пути.

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скорость v = v(t). Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = T₁ до t = T₂.

В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, то путь, пройденный телом равен (по определению, известном из курса физики) произведению скорости на время движения: . В общем случае, когда мгновенная скорость не постоянна, её вычисляют по формуле:

Пример 2: Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 сек.

Решение: по формуле получим

Пример 3: Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = at + v₀ . Какой путь пройдет точка за промежуток времени от t = T₁ до t = T₂ ?

Решение: По формуле получим

Пример 4: Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти длину пути от начала движения до его остановки.

Решение: Скорость тела в момент начала его движения и остановки равна 0. Найдем момент остановки тела. Приравняв для этого его скорость к нулю и решив уравнение, получим: .

Далее, по формуле имеем:

Задача о силе давления жидкости.

Пусть пластинка в виде криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью ρ так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня соответственно на расстоянии a и b (рис.1)

Сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле:

Пример 5: Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найти силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м²), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м на 0,7 м

Решение: Для нахождения силы давления воспользуемся формулой. Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x) = 0,7, ,

получаем: .

Учитывая, что , имеем .

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка движется под действием силы F по прямой. Проекция этой силы на ось Ох есть функция от х. Будем обозначать ее через f(x) и предполагать, что f есть непрерывная функция. Пусть под действием силы F материальная точка переместилась из точки М(а) в точку M(b). Работа переменной силы вычисляется по формуле:

Пример 6: Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на эти 0,05м?

Решение: По закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину, пропорциональна этому растяжению или сжатию, т.е. , где х – величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности. Из условия следует, что , т.е. k = 60, следовательно, F = 60x.

Используя формулу, получим: