Системы линейных однородных уравнений.

Задача 81. Решить однородную систему:

Решение. Видим, что отличие от предыдущей задачи в том, что справа нулевые константы. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:

Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.

Итак, получили систему базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что свободная переменная, переносим её вправо: . Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.

Из 2-го: , а подставляя в 1-е, получим

, т.е. .

Общее решение системы: .

Также записывается в виде вектора: .

Отличие от прошлой задачи в том, что на всех местах, где там были константы, здесь 0. Все переменные преобразовывались точно так же.

Частные решения здесь отличаются тем, что задавая в k раз больше, мы и все остальные получим тоже в k раз больше:

, , , и так далее.

То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.

Если для неоднородной системы представить эти тройки чисел как точки в пространстве, то там они образовывали прямую,не проходящую через начало координат, а для однородной системы - проходящую через начало координат. Поэтому разумно выбрать для этой прямой всего 1 вектор, который задаёт её. Это как раз и есть ФСР (фундаментальная система решений). ФСР .

Ответ. Общее решение , ФСР .

Задача 82. Решить систему

Решение. Минор, состоящий из 1 и 2 столбцов, уже в треугольной форме. Базисный минор порядка 2. Тогда 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. .

уже фактически выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить .

Общее решение: { , }.

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ. Общее решение { , }.

ФСР { , }.

Замечание. Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они = 0), но туда перенесены свободные переменные. То есть идея решения методом Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и та же, но справа разные типы объектов.

Задача 83. Решить однородную систему .

Решение. Можно записать основную матрицу и там вычесть 1-ю строку из 2-й, впрочем, можно для небольшой системы сделать это и сразу в системе, вычесть 1-е уравнение из 2-го. Получится:

Ранг равен 2, а неизвестных 3, 3-я неизвестная свободная, переносим вправо. Тогда:

Из 2-го уравнения , тогда , а значит .

Общее решение: , . В виде вектора: .

Присвоим , получим остальные неизвестные.

ФСР состоит всего из одного вектора: . Все остальные решения пропорциональны этому.

Если бы, например, присвоили , получили бы . Это потому, что всего одна свободная переменная.

Ответ. Общее решение: , ФСР .

Задача 84. Решить однородную систему

Решение. Запишем основную матрицу, преобразуем её.

снова представим в виде системы:

базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Здесь их уже две, так как , поэтому . Перенесём их через знак равенства.

здесь уже выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и .

, .

Общее решение: , .

В виде вектора: .

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ. Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача 85. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.

Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. .

Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений.

перенесём свободные неизвестные вправо:

из 2 уравнения , подставим это в 1-е,

будет , то есть .

Общее решение: , .

В виде вектора:

Построим ФСР из 2 векторов.

, получим

, получим .

Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

Задача 86. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.

Треугольная структура продолжилась до самой последней строки, и не проявилась строка из нулей, то есть ранг равен 3. Здесь всего одна свободная переменная. Развернём обратно эту матрицу, т.е. запишем в виде системы, а затем перенесём свободные переменные вправо.

Из последнего, , это подставим во 2-е и получим .

Затем это всё в 1-е уравнение, получим .

ФСР: один вектор .

Ответ. Общее решение: . ФСР:

Задача 87. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.

далее можно вычесть 2 строку из 3-й и 4-й, и там везде будут 0.

Здесь ранг 2, неизвестных 5, .

Переписывая в виде системы, переносим вправо 3 свободных переменных.

Выражаем из 2-го как линейную функцию от , а затем с помощью 1-го уравнения, также и .

, .

Общее решение: .

ФСР из 3 векторов. Для этого задаём поочерёдно 1 какой-либо из свободных переменных, а 0 остальным.

ФСР: , , .

Ответ. Общее решение: .

ФСР: , , .

Задача 88. Решить однородную систему, найти ФСР:

Решение. Сначала быстро преобразуем основную матрицу методом Гаусса, для чего из 2 строки вычтем удвоенную 1-ю.

, видим, что базисный минор в 1 и 2 столбцах, тогда свободные переменные.

Система после преобразования:

Переносим вправо :

Последнее уравнение будет логично умножить на коэффициент .

Тогда , подставляя эту информацию в 1-е уравнение, получим , тогда .

Запишем общее решение , ,

оно же в векторном виде: .

Поочерёдно присваивая , затем , получим два вектора: (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Ответ. Общее решение , .

ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Задача 89. Решить однородную систему, найти ФСР

Решение. Запишем основную матрицу и преобразуем её:

Третье уравнение было лишнее, ранг основной матрицы равен 2.

Базисные столбца 1-й и 2-й, тогда 3-я переменная свободная.

Система после преобразований:

Перенесём :

из 2-го уравнения видно: , тогда из 1-го уравнения:

, т.е. .

Общее решение: , .

Оно же в векторной форме: .

ФСР будет состоять из одного вектора, если то это . Впрочем, для того, чтобы все координаты были целыми, можно присвоить и рассматривать кратный ему вектор .

Ответ. Общее решение: , , ФСР: .

Линейные операторы.

Задача 90. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве, если действие оператора задано таким образом: .

Решение. Находим, в какие векторы отображаются два базисных вектора: , .

Эти результаты запишем по столбцам: .

Ответ. Матрица линейного оператора .

Проверка: . То есть действительно, вычисление координат образа вектора по данным формулам даёт точно такой же результат, как и с помощью умножения на матрицу.

Так, но ведь и по исходным формулам получилось бы то же самое: .

Задача 91. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве

Решение. Отобразим базис 3-мерного пространства.

Ответ. Матрица линейного оператора .

Задача 92. С помощью линейного оператора поворота плоскости доказать, что скалярное произведение не изменяется при повороте.

Решение. Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение равно . теперь отобразим каждый из этих векторов с помощью линейного оператора поворота на угол .

А теперь скалярно перемножим 2 получившихся вектора:

и .

Учитывая, что 3,4,7,8 слагаемые взаимоуничтожаются, получим:

= .

Ответ: Что и требовалось доказать.

Задача 93. Найти собственные числа и векторы линейного оператора, заданного матрицей: .

Решение. Сначала построим харакреристическое уравнение, то есть отнимем по главной диагонали, и приравняем этот определитель к нулю. . Вычислим определитель, чтобы свести всё к уравнению. . Характеристические корни , .

Теперь поочерёдно подставляем каждое конкретное из найденных , и формируем однородную систему.

система:

Здесь есть единственная информация: . Переменной в системе нет, но это значит, что она может принимать любое значение, она не влияет на систему уравнений. Распространённая ошибка в данном случае - думать, что если коэффициенты при нулевые, то . На самом деле является свободной неизвестной. Если вспомнить тему «ранг матрицы», то увидим, что базисный минор матрицы это минор 1-го порядка, и расположен именно во втором столбце (любая клетка размера 1 на 1), где есть число. Невырожденного минора 2-го порядка здесь нет. Таким образом, 1-я переменная свободная, и пусть даже 2-я через неё здесь не выражена, а просто равна 0, но всё равно свободной переменной мы можем присвоить любое значение, например 1. Итак, ФСР в данном случае (1,0), и именно это и является собственным вектором. Проверка: .

Замечание. Любой вектор на этой прямой, то есть вида (с,0) тоже является собственным.

система состоит из одного уравнения: . Ранг системы равен 1, а вот базисный минор можно выбрать как в 1-м так и во 2-м столбце, поэтому любую переменную можно считать свободной. Неважно, какую выразить через другую, всё равно одна и та же информация:

или . Задавая одну, получаем вторую. Вектор (1,1).

Проверка: . Действительно, мы нашли такой вектор, который при умножении на эту матрицу становится больше в 3 раза.

Ответ. вектор (1,0), вектор (1,1).

Задача 94. Найти собственные числа и векторы для матрицы .

Решение. .

. Корни , то есть и 5.

Ищем собственный вектор для каждого из этих чисел.

система состоит из двух одинаковых уравнений

Одну переменную выразим через вторую . ФСР .

система состоит из пропорциональных уравнений

Одну переменную выразим через вторую . ФСР .

Ответ. вектор , вектор (1,1).

Проверка. , .

Задача 95. Найти собственные числа и векторы для матрицы .

Решение.

Здесь хар. корень кратности 2: .

Ищем собственные векторы.

Однородная система состоит всего лишь из одного уравнения .

При этом формально свободная переменная, так как базисный минор 1-го порядка во втором столбце, а 1-й столбец тогда не базисный. То есть можно присваивать любое значение, например 1.

Итак, собственный вектор (1,0). Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет.

Ответ. , собственный вектор (1,0).

Замечание. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня.

А если бы матрица изначально была то система уравнений получилась бы только из уравнений вида 0 = 0, то есть обе переменные свободные, ФСР было бы (1,0) и (0,1) и тогда собственные векторы - вся плоскость.

Задача 96. Доказать, что линейный оператор не имеет собственных векторов.

Решение. .

, действительных корней нет, то есть корни комплексные, они .

Замечание. Если линейный оператор в 3-мерном пространстве, то характеристический многочлен 3 степени, и в том случае есть по крайней мере хотя бы один действительный корень.

Задача 97. Доказать, что для оператора поворота в общем случае нет собственных векторов, и найти такие углы , при которых собственные векторы есть.

Решение. , , , получили многочлен вида , где

. .

так как . Лишь для углов 0 и получается D = 0, и тогда собственные векторы есть. При матрица линейного оператора примет вид , тогда все векторы плоскости являются собственными, и соответствуют числу .

При матрица , все векторы собственные, соответствуют .

Задача 98. Найти собственные числа и векторы .

Решение. сводится к уравнению

, корни которого .

Найдём собственные векторы.

. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Из этих уравнений следует, что , про нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).

. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Из этих уравнений следует , ФСР: вектор (1,1,0).

Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной.

. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го , а затем из 1-го , то есть .

ФСР: вектор (1,1,1).

Ответ.

Собст. число собст. вектор (1,0,0),

собст. число собст. вектор (1,1,0),

собст. число собст. вектор (1,1,1).

Задача 99. Найти собственные числа и векторы .

Решение. сводится к уравнению

, корни которого: .

, система

откуда , ФСР это вектор .

, система

откуда , ФСР это вектор .

, система

откуда , а значит и , свободная переменная.

Тогда ФСР это вектор (1,0,0).

Ответ.

Собст. число собст. вектор ,

собст. число собст. вектор ,

собст. число собст. вектор (1,0,0).

Задача 100. Найти собственные числа и векторы

Решение.

разложим по 2-й строке:

= что сводится к

, первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак, , корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы.

, если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных.