Для определения параметров уравнения регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Метод был предложен К. Гауссом (1777 – 1855) и А. М. Лежандром (1752 – 1833) независимо друг от друга.
Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что отыскиваются такие значения параметров уравнения регрессии, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических будет наименьшей из всех возможных, т.е.
, (8.5)
где у – фактические значения результативного признака;
– теоретические значения результативного признака.
Для нахождения минимума функции следует приравнять к нулю частные производные по 
и 
:
и 
. (8.6)
Рассмотрим, как определяются параметры уравнения регрессии для различных видов аналитических функций.
1. Уравнение прямой:
, (8.7)
где – теоретическое значение результативного признака;
–значениефакторного признака;
и –параметры уравнения прямой;
–коэффициент регрессии(пропорциональности), характеризующий изменение среднего значения результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения.
, (8.8)
(8.9)
После преобразования получим систему нормальных уравнений:
(8.10)
(8.11)
где n – число пар взаимосвязанных признаков.
По эмпирическим данным необходимо рассчитать все приведенные в формулах суммы и подставив их в систему уравнений, найти параметры искомой прямой.
Систему можно решить методом определителей:
; (8.12)
; (8.13)
. (8.14)
Значения параметров и подставляют в уравнение регрессии и находят теоретические значения результативного признака, которые показывают, каким теоретически должен быть средний размер результативного признака при данном размере факторного признака.
Пример 8.1. Построим линейное уравнение регрессии по данным табл. 8.1 и определим зависимость объема продукции от стоимости основных производственных фондов.
Таблица 8.1
Расчетная таблица для определения параметров
Линейного уравнения регрессии
| Номер пред-приятия | Объем продукции,
млн. руб.
| Стоимость основных производственных фондов,
млн. руб.
|
|
|
|
|
| 12,0 | 4,5 | 20,25 | 54,00 | 144,00 | 12,48 | |
| 12,7 | 4,7 | 22,09 | 59,69 | 161,29 | 12,71 | |
| 13,2 | 4,9 | 24,01 | 64,68 | 174,24 | 12,94 | |
| 14,0 | 5,2 | 27,04 | 72,80 | 196,00 | 13,29 | |
| 13,8 | 6,0 | 36,00 | 82,80 | 190,44 | 14,23 | |
| 15,0 | 6,5 | 42,25 | 97,50 | 225,00 | 14,81 | |
| 15,5 | 6,8 | 46,24 | 105,40 | 240,25 | 15,16 | |
| 14,8 | 7,2 | 51,84 | 106,56 | 219,04 | 15,62 | |
| 16,4 | 7,9 | 62,41 | 129,56 | 268,96 | 16,44 | |
| 18,0 | 9,0 | 81,00 | 162,00 | 324,00 | 17,72 | |
| Итого | 145,4 | 62,7 | 413,13 | 934,99 | 2143,22 | 145,4 |
1. Линейное уравнениерегрессии:
.
2. Система нормальных уравнений:
3. Определение параметров линейного уравнения регрессии:
Первый способ:
Поделим каждое уравнение на соответствующие коэффициенты при : первое уравнение – на 10, второе – на 62,7:
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
;
; 
.
Второй способ:
;
.
Линейное уравнение регрессии в числовом виде:
.
Коэффициент регрессии (
) показывает, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 млн. руб. объем продукции в среднем будет увеличиваться на 1,167 млн. руб.
Измерение тесноты связи
Для измерения тесноты связи при линейной зависимости используются: линейный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации и коэффициент эластичности.
1. Линейный коэффициент корреляции. В 1889 г. Френсис Гальтон высказал мысль о коэффициенте, который мог бы измерить тесноту связи. В начале 90-х годов XІX в. К. Пирсон, Ф. Эджворт и Велдон получили формулу коэффициента корреляции.
Линейным коэффициентом корреляции называется среднее произведение отклонений вариантов взаимосвязанных признаков от их средних величин, разделенное на произведение их средних квадратических отклонений.
Первая формула:
. (8.21)
Вторая формула:
, (8.22)
где 
; 
; 
;
; 
.
Вывод:
; (8.23)
;
. (8.24)
Третья формула:
. (8.25)
Четвертая формула.Коэффициент корреляции можно выразить через коэффициент регрессии:
. (8.26)
Вывод:
Решим в общем виде систему нормальных уравнений:
(8.27)
Поделим каждое уравнение на n:
(8.28)
Поделим второе уравнение на 
:
(8.29)
Вычтем из второго уравнения первое:
. (8.30)
Определим параметр (коэффициент регрессии):
; (8.31)
. (8.32)
Выразим коэффициент корреляции r через коэффициент регрессии :
. (8.33)
Выведем дополнительные формулы для определения параметров уравнения регрессии. Для этого:
- выразим коэффициент регрессии через коэффициент корреляции r:
. (8.34)
- из первого уравнения системы уравнений (8.29) найдем параметр :
. (8.35)
Параметры линейного уравнения регрессии можно определить по формулам:
; (8.36)
. (8.37)
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах:
. (8.38)
Знак «
» при коэффициенте корреляции показывает направление связи («+» – прямая связь, «- » – обратная связь). Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком при коэффициенте регрессии .
Если r = 0 – связь между признаками отсутствует;
r = 1 – связь между признаками функциональная;
0 < | r | < 0,3 – связь слабая;
0,3 
| r | 0,7 – связь средняя;
0,7 <| r |< 1 – связь тесная.
Линейный коэффициент корреляции дает качественную оценку тесноты связи. Для получения количественной оценки связи используются коэффициенты детерминации и эластичности.
2. Линейный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного признака:
%. (8.39)
3. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%. Определяют средний и переменный коэффициенты эластичности:
средний:
; (8.40)
переменный:
. (8.41)
Пример 8.3. Определим линейный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации и коэффициенты эластичности по данным таблицы 8.1.
1. Линейный коэффициент корреляции:
Первый метод:
,
где 1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Второй метод:
;
.
Третий метод:
.
Линейный коэффициент корреляции показывает, что связь между стоимостью основных производственных фондов и объемом продукции тесная.
2. Коэффициент детерминации:
%.
Вариация объема продукции на 93,5% определяется вариацией стоимости основных производственных фондов.
3. Коэффициенты эластичности:
а) средний:
.
При увеличении стоимости основных фондов на 1% объем продукции в среднем будет увеличиваться на 0,5%.
б) переменный (при заданном значении х). Допустим, что х = 5,2:
.
При увеличении стоимости основных фондов от 5,2 млн. руб. до 5,252 млн. руб. (т.е. на 1%) объем продукции увеличится на 0,46%.
Рассмотренные показатели тесноты связи используется для ее оценки только при линейной форме связи.
Более универсальными показателями тесноты связи являются теоретическое корреляционное отношение (ТКО) и теоретический коэффициент детерминации (ТКД). Их можно использовать при любых формах связи, в том числе и при линейной.
1. Теоретическое корреляционное отношение (ТКО)представляет собой корень квадратный из отношения дисперсии теоретических значений результативного признака к дисперсии эмпирических значений результативного признака:
, (8.42)
где 
- дисперсия эмпирических значений результативного признака;
- дисперсия теоретических значений результативного признака.
Теоретическое корреляционное отношение изменяется в пределах 
.
Если 
- связи нет,
- связь полная,
- связь слабая,
- связь средняя,
- связь сильная (тесная).
2. Теоретический коэффициент детерминации (ТКД)показывает, на сколько процентов вариации результативного признака определяется вариацией факторного признака:
%. (8.43)
Пример 8.4. Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение и теоретический коэффициент детерминации по данным таблиц 8.2 и 8.3.
1. Теоретическое корреляционное отношение (ТКО):
.
Связь между урожайностью пшеницы и количеством вносимых удобрений тесная.
Таблица 8.3
Расчетная таблица для определения теоретического корреляционного