Получим некоторые вспомогательные утверждения и оценки связанные с оператором L.
Утверждение 1.2.1. Пусть выполнено условие: i) k(y)≥0 - кусочно-непрерывная функция на [0,1] и к(0)=0. Тогда оператор L положительно определён и существенно самосопряжен в .
Утверждение 1.2.2. Пусть выполнено условие: i) k(y)≥0 - кусочно-непрерывная функция на [0,1] и к(0)=0. Тогда спектр оператора L дискретен.
Для доказательства этих утверждений сперва докажем следующие леммы.
Лемма 1.2.1 Пусть выполнено условие i). Тогда для любого справедлива оценка
где с>0- постоянное число, не зависящее от u(x,y).
Доказательство. Для имеем:
;
Отсюда на основании условия i) и неравенства Коши-Буняковского имеем:
Лемма 1.2.1 доказана. Здесь учитывалось вещественность коэффициентов оператора L.
Лемма 1.2.2. Пусть выполнено условие i). Тогда L симметричный оператор, т.е.
.
Доказательство. Для имеем:
(1.2.5)
Интегрируя по частям, учитывая граничные условия (1.2.2) и пользуясь тем, что находим:
Отсюда получим:
.
Точно также интегрируя по частям и учитывая граничные условия (1.2.3) получим:
.
.
Отсюда и из (1.2.5) следует, что
.
В силу непрерывности скалярного произведения равенство справедливо для всех
. Следовательно, L симметричный оператор.
Лемма 1.2.2 доказана.
Лемма 1.2.3 Пусть выполнено условие i). Тогда L положительно определенный оператор.
Доказательство. Составим квадратичную форму:
.
Интегрируя по частям и принимая во внимание граничные условия (1.2.2), (1.2.3) найдем:
Точно также:
Тогда получим:
.
Лемма 1.2.3 доказана.
Рассмотрим оператор
определенный первоначально на , оператор допускает замыкание.
- множество бесконечно дифференцируемых функций удовлетворяющих условию
.
Лемма 1.2.4 Пусть выполнено условие i). Тогда:
а) для всех справедлива оценка
;
б) оператор существенно самосопряжен.
Доказательство. Для всех имеем:
,
,
.
Отсюда, используя неравенства Коши-Буняковского, получаем, что последнее неравенство, в силу непрерывности нормы, справедливо
для всех
.
Нетрудно проверить, что оператор – симметрический. Действительно, интегрируя по частям имеем:
.
Это неравенство в силу непрерывности скалярного произведения верно для всех . Лемма 1.2.4 будет доказана, если мы докажем что
D(
) плотно в
Докажем, это от противного, что множество значений не является плотным в . Тогда существует элемент
такой, что
, т.е.
для всех
. Тогда по теореме Рисса имеет место равенство
,
где . Отсюда, в силу плотности D(
) в
, следует, что
.
Далее, непосредственно можно убедится, что отсюда
.
Теперь, если показать, что v=0, то придем к противоречию и лемма будет доказана. Для этого рассмотрим следующее выражение:
.
Верны следующие, выкладки:
(1.2.6)
По предположению . Тогда из равенства (1.2.6) следует
или
(1.2.7)
Предположим, что
Так как , т.е. мы можем брать произвольно функцию u.
Пусть .
Тогда
(1.2.8)
Подставляя (1.2.8) в (1.2.7) находим . Точно также докажем, что
. Таким образом
и для этой функции справедливо неравенство
.
Полученное неравенство показывает, что, в силу .
Лемма 1.2.4 доказана полностью.