Понятие о перемещениях в плоских стержневых системах
Перемещения в балках. Вычисление перемещений необходимо для расчетов балок на жесткость. Расчет на жесткость относится к второй группе предельных состояний. При изгибе балок рассматривают два вида перемещений – линейные и угловые. Линейные перемещения оси балки – это вертикальные перемещения, которые называются прогибами. В соответствии с введенными ранее обозначениями для перемещений будем обозначать прогибы буквой v. На рис. 9.1 пунктиром показана ось балки в деформированном состоянии, которая называется изогнутой осью балки. Уравнение изогнутой оси балки можно описать некоторой функцией 
.
Рис. 9.1. Перемещения в балке
Правило знаков для v. Прогибы балки считаются положительными, если происходят в сторону положительного направления оси у, т.е. вниз.
В сопротивлении материалов рассматриваются малые перемещения. В строительных конструкциях максимальные прогибы лежат в пределах 1/200-1/1000 длины балки. В балках возникают также и горизонтальные перемещения и, обусловленные, например, сближением концов балки. Эти перемещения намного меньше перемещений 
и, как правило, не рассматриваются. Существует отдельная задача изгиба гибких стержней (гибких нитей), в которых перемещения могут быть значительными, но в данном курсе эта задача не приводится.
Пренебрегая горизонтальными смещениями центров тяжести сечений, будем полагать, что центр тяжести сечения перемещается строго вертикально, при этом сечение поворачивается на угол 
. Эти углы поворота и называются угловыми перемещениями. Так же, как и прогибы, значения изменяются по длине балки, т.е. 
Следует отметить, что наличие поперечных сил приводит к искривлению сечений, однако с некоторым приближением можно считать, что и при поперечном изгибе справедлива гипотеза плоских сечений. Отсюда следует, что угол поворота сечения равен углу поворота касательной к изогнутой оси балки.
|
|
Правило знаков для j .Углы поворота сечений балки считаются положительными, если происходят в направлении хода часовой стрелки.
Перемещения в плоских стержневых системах. В плоских стержневых системах обычно находят три перемещения – два линейных и одно угловое. Линейные перемещения обозначают Δ с соответствующими индексами, а угловое – буквой . На рис. 9.2 пунктиром показана деформированная ось рамы и обозначены перемещения ее некоторых точек. Узел К перемещается вниз и вправо в положение К ´, а также поворачивается в направлении часовой стрелки. В точке А ось стержня смещается вертикально и поворачивается, а в точках В и С происходят горизонтальные перемещения и углы поворота. Отметим, что жесткие узлы рам поворачиваются с сохранением прямого угла между смежными стержнями.
Рис. 9.2. Перемещения в раме
Формула Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах
Формулой, имеющей огромное практическое значение для расчета конструкций на жесткость, является формула Мора (9.1), названная по имени немецкого механика и инженера Отто Христиана Мора (1835–1918). жесткость).
| (9.1) |
Иногда формулу (9.1) называют формулой Максвелла – Мора, а стоящий справа интеграл – интегралом Мора.
Замечание. В формуле (9.1) учитываются только те слагаемые, которые соответствуют конкретной задаче. При растяжении (сжатии) стержней отличными от нуля будут только продольные силы N, и остается только первое слагаемое (такой подход используется при вычислении перемещений в фермах при узловой нагрузке). Обычно, при расчете плоских стержневых систем, работающих, в основном, на изгиб (плоские рамы), пренебрегают членами с продольной и поперечной силами, что дает небольшую погрешность результатов (несколько процентов), а в формуле Мора оставляют только второе слагаемое.
|
|
Таким образом, для плоских рам формула Мора запишется в виде:
| (9.2) |
Здесь:
D KF – обобщенное перемещение некоторой точки К от действия внешних нагрузок (подчеркнуто вторым индексом F);
– грузовая эпюра моментов (функция), полученная от внешних нагрузок;
– единичная эпюра моментов (функция), полученная от действия единичной обобщенной силы.
Так, для вычисления линейного перемещения какой-либо точки нужно приложить в этой точке единичную силу 
и написать функцию (или построить эпюру) 
от этой силы, после чего использовать формулу. Для вычисления угла поворота некоторого сечения вместо единичной силы следует приложить в соответствующей точке единичный момент 
и также найти функцию (построить эпюру) от этого момента. После этого необходимо воспользоваться формулой Мора.
Единичная сила и единичный момент 
являются безразмерными величинами, поэтому единичная эпюра при определении линейных перемещений имеет размерность длины, а при определении углов поворота является безразмерной.
|
|
Пример 9.1. Рассмотрим балку, показанную на рис. 9.3. Изгибающий момент в балке от действия равномерно распределенной нагрузки описывается функцией 
Рис. 9.3. К примеру 9.1.
Для определения вертикального перемещения т. А приложим в этой точкеединичную силу .
Функция единичного момента имеет вид 
Подставляя выражения для обоих моментов в формулу (9.1), получим:
.
Для определения угла поворота в той же точке приложим единичный момент 
направленный по часовой стрелке, предполагая, что угол поворота будет положительным. В этом случае 
Из формулы (9.1) находим
