Комплексные числа
Основные понятия
Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N, получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин.
Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида 
, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R. В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида 
. Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Джероламо Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Рене Декарт, в 1777 году Леонардо Эйлер предложил использовать первую букву латинского слова imaginarius (мнимый) i для обозначения числа 
(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря Карлу Гауссу.
В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.
Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.
Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида 
, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, 
.
Два комплексных числа 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
, 
.
Если 
, то число 
называют чисто мнимым; если 
, то число 
является действительным числом, это означает, что множество R 
С, где С – множество комплексных чисел.
Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число 
.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Любое комплексное число можно изобразить точкой М (x, y) плоскости Oxy. Парой действительных чисел обозначаются и координаты радиус-вектора 
, т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: 
.
Определение 2. Действительной частью комплексного числа называется действительное число х.
Обозначение x = Re z (от латинского Realis).
Определение 3. Мнимой частью комплексного числа называется действительное число y.
Обозначение y = Im z (от латинского Imaginarius).
Re z откладывается на оси (Ох), Im z откладывается на оси (Оy), тогда вектор 
, соответствующий комплексному числу – это радиус-вектор точки М (x, y), (или М (Re z, Im z)) (рис. 1).
Определение 4. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа 
. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа 
.
Определение 5. Модулем комплексного числа z = (x, y) называется длина вектора : 
, т.е. 
.
Определение 6. Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси (Ох) и вектором : 
.
Из рисунка 1 видно, что 
.
Определение 7. Главным значением 
называется то его значение, которое удовлетворяет неравенству 
. Аргумент комплексного числа находится по формуле:
Замечание 1. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное 
, обозначается Arg 
, 
; где arg z – главное значение аргумента.
Замечание 2. В некоторых случаяхглавным значением можно взять то его значение, которое удовлетворяет неравенству 
Замечание 3. Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то можно найти непосредственно.