События Ai – i – й спортсмен выполнил норматив; 
- не выполнил
Поясним смысл формул в алгебре событий:
1) А1А2А3 – все три спортсмена выполнили норматив
2) 
- 1-й и 2-й спортсмены – выполнили норматив,, а 3-й – нет
3) А1 + А2 + А3 - по крайней мере один из трех выполнил
4) 
- какой-то один спортсмен выполнил, а двое других – нет
5) 
- по крайней мере один из трех не выполнил норматива
6) 
- ни один из трех не выполнил
………………………………………………………………………………………………………………………
Событие А называется БЛАГОПРИЯТСТВУЮЩИМ событию В, если появление события А влечет появление события В.
ПРИМЕР
Событие «появление 6-ти очков на верхней грани игральной кости» будет благоприятствующим событию «появление четного числа очков на верхней грани»
Событие «из трех выстрелов стрелок попал в мишень только в 3-й попытке» будет благоприятствующим событию «по крайней мере один раз стрелок попал в мишень»
………………………………………………………………………………………………………………………
· ВЕРОЯТНОСТЬЮ события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий.
Обозначение: 
, где m - число элементарных событий, благоприятствующих событию А, а n - общее число элементарных событий
СВОЙСТВА: 1) 
т.е. вероятность достоверного события равна единице.
2) 
т.е. вероятность невозможного события равна нулю
3) 
т.е. значение вероятности любого события лежит в пределах от нуля до единицы.
……………………………………………………………………………………………………………………
ПРИМЕР
Испытание: достаем наудачу шар из урны, в которой содержатся 3 белых, 2 черных и 5 красных шаров
Найдем вероятности событий:
А1: «Белый шар», А2: «Черный шар», А3: «Красный шар», А4: «Зеленый шар»,
А5: «Красный или черный шар», А6: «Белый, черный или красный шар»
Решение:
Во всех событиях общее число элементарных событий m =10 – это общее число шаров
- как вероятность невозможного события.
- событие А6 = Ω т.е. является достоверным.
………………………………………………………………………………………………………………………
ПРИМЕР
В магазин поступило 25 телевизоров, четыре из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один телевизор. Найти вероятность события А «телевизор без дефекта»
………………………………………………………………………………………………………………………
Теорема 1
Р (А + В) = Р (А) + Р (В), если 
т.е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие. 
- формула вычисления вероятности противоположного события
……………………………………………………………………………………………………………………….
Теорема 2
, где РА(В) – условная вероятность т.е. вероятность события В при условии, что событие А уже произошло.
Следствие.
Для независимых событий Р(АВ) = Р(А) Р(В)
…………………………………………………………………………………………………………………….
Теорема 3
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р(АВ) – общая формула вычисления вероятности суммы событий, в том числе совместных.
Следствие 1
Для несовместных событий и 
=> Р (А + В) = Р (А) + Р (В)
Следствие 2
- самая эффективная формула для вычисления вероятности суммы событий, которая верна для любого числа любых событий.
Следствие 3
т.е. вероятность события «произошло по крайней мере одно из событий» вычисляется по формуле «единица минус вероятность события «ни одно из событий не произошло»
……………………………………………………………………………………………………………………….
ПРИМЕР
Три стрелка независимо друг относительно друга стреляют в мишень с вероятностями попадания 0,6; 0,7 и 0,9. Описать события и найти вероятности:
Е1: «все попали»
Е2: «никто не попал»
Е3: «попал только третий»
Е4: «попал кто-то один»
Е5: «по крайней мере один попал»
Е6: «по крайней мере один промахнулся»
Решение
Обозначим Аi событие «i - й стрелок попал»
Р(А1) = 0,6; Р(А2) = 0,7; Р(А3) = 0,9;
Вероятности противоположных событий: 
Р(Е1) = Р(А1А2А3)= 0,6·0,7·0,9 = 0,378
……………………………………………………………………………………………………………
НАДЕЖНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ: