Следствия из первого замечательного предела

Свойства умножения матрицы на число

1 · A = A

0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица

k · (A + B) = k · A + k · B

(k + n) · A = k · A + n · A

(k · n) · A = k · (n · A)

Найти произведение матрицы A = (4 2) и числа 5.

(9 0)

Решение:

 

5·A= 5· (4 2) = (5·4 5·2) = (20 10)

(9 0) (5·9 5·0) (45 0)

10. Транспонированная матрица

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:

aTij = aji

A=					.

Решение:

AT=

 

11. Обратная матрица

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A-1 = A-1·A = E

Свойства обратной матрицы:

1

2

3

4

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

12. Определители

A = (5 7)

-4 1

Решение:

 

det(A) = (5 7)

(-4 1) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

13. 2,3 порядка

Го порядка

A = (5 7)

(-4 1)

Решение:

 

det(A) = (5 7)

(-4 1) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Го порядка

∆ =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

 

= a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ - a₁₃·a₂₂·a₃₁ - a₁₁·a₂₃·a₃₂ - a₁₂·a₂₁·a₃₃

14. Линейные уравнения

 

из первого уравнения выразим:

Полученное выражение подставляем во второе уравнение:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :

Далее вспоминаем про то, от чего плясали:

Значение нам уже известно, осталось найти:

Ответ:

15. Векторы

Вектор это направляющий отрезок для которого указано какой из его концов является началом, а какой концом

16. Нулевой вектор – если начало и конец вектора совпадают

17. Длина вектора – расстояние между его началом и концом

18. Коллинеарные векторы – два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

19. Равные векторы – векторы которые сонаправленны и их длины равны

20. Сонаправленные и противоположно направленные

Сонаправленные – если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в одну сторону

Противоположно направленные – если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны

21. Правило треугольника – отложим от какой нибудь точки А вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС равный b. Вектор АС называется суммой векторов а и b: AC=a+b

 

22. Правило параллелограмма – сложение векторов

Задание. Найти сумму векторов , и

Решение. Для нахождения суммы векторов, сложим их соответствующие координаты

Ответ.

23. Разность векторов – это такой вектор с сумма которого равна вектору а+b

Задание. Найти разность векторов , где и

Ответ.

24. Произведение вектора на число - Произведение ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b длина которого равна |k|*|a |, причем векторы а и b сонаправленныесли k >=0 и противоположно направлены если k<0. Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевым вектором.

25. Скалярное произведение через коорд.,

и

через cos

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Свойства скалярного произведения:

1 - симметричность.

2 . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3 Если , то

4 Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5

6

7

26. Длина вектора в координатах – длина направленного отрезка которая определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

27. Длина отрезка - Это расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

d²= (х₂— х₁)²+ (y₂— y₁)²

Извлекая квадратный корень из выражения, находим:

|AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

28. Уравнения прямой и кривых

(x−x_A)²+(y−y_A)²=(x−x_B)²+(y−y_B)² – уравнение прямой

 

29. Общий вид уравнения прямой

Ax + By + C = 0.

 

30. Уравнение прямой, проход через две точки

A(x1, y1) и B(x2, y2):

31. Угол между прямыми на плоскости

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

 

32. Уравнение прямых в отрезках - x/a + y/b = 1, где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

 

33. Кривые второго порядка - геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

 

 

34. Уравнение окружности

Мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек ∣AB∣=√(x_A−x_B)²+(y_A−y_B)², а если так, то квадрат расстояния AB²=(x_A−x_B)²+(y_A−y_B)².

 

35. Эллипс. Фокус Эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

 

36. Гипербола - геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F₁,F₂ (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Элементы гиперболы:
A₁A₂=2a - действительная ось
B₁B₂=2b - мнимая ось
A₁ ,A₂ - вершины
F₁(c; 0), F₂(-c; 0) - фокусы
F₁F₂=2c - фокальное расстояние (фокусное расстояние)

c²=a²+b²

Уравнение:

37. Парабола

Формула параболы y=ax²+bx+c

если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

 

Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax2+bx+c=0;

 

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и решается по дискриминанту;

b) Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:

ax2+bx=0,

х(ax+b)=0,

х=0 и ax+b=0;

c)Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

 

38. Способы задания функции. Предел функции

Табличный способ. Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Применяется когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента.

 

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

 

Пример:

 

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Чтобы графическое задание функции было корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением.

 

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

 

39. Пределы. Замечательные пределы 1,2

Следствия из первого замечательного предела

1

2

3

4

Применение первого замечательного предела:

Второй замечательный предел

 

40. Точки разрыва. Св-ва

41. Односторонние пределы

Односторонние пределы — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

 

42. Производная.

Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента : при , если он существует, то есть:

или

Таблица производных

43. Правила дифференцирования

44. Исследование функции

Структура:

1 Область определения и область допустимых значений функции.

2 Четность, нечетность функции.

3 Точки пересечения с осями.

4 Асимптоты функции.

5 Экстремумы и интервалы монотонности.

6 Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7 Сводная таблица.

45. Функции. Построение графика функции

46. Интеграл

Основные формулы

 

 

Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

То есть

Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции .

47. Методы интегрирования

· Разложение

· Введение нового аргумента

· Интегрирование дробно-рациональных функций

48. Определённые интегралы

https://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-opredelennyx-integralov/

49. Криволинейные трапеции - называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [ a;b ] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

50. Вычисление площадей