Аксиоматическое строение теории вероятности.

Вопрос 1.

События и вероятность.

 

Событие – всякий факт, который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти.

Таким образом, событие – это исход опыта.

Например: опыт – бросание монеты, событие – выпадение орла или решки.

Вероятность события – численная мера степени объективной возможности этого события. U (достоверное событие) – которое в результате опыта непременно произойдет. V (невозможное событие) – которое не может произойти в результате опыта.

3 подхода к определению понятия вероятности:

1. классический (подсчет вероятности)

2. статистический (частотный)

3. аксиоматический (теоретико-множественный)

Классический.

Несовместное событие – если появление 1 из них исключает появление других событий в одном и том же опыте.

Полная группа событий: события в опыте образуют полную группу, если в результате опыта произойдет хотя бы 1 из них (например, попадание или промах, орел или решка).

А₁ = {1 или 2 или 3}, А₂ = {3 или 4 или 5}, А₃ = {4 или 5 или 6} – полная группа совместных событий.

Равновозможные события: события в опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни 1 из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

События, обладающие всеми тремя свойствами, называются случаями.

Для каждого опыта можно указать некоторую совокупность взамноисключающих друг друга элементарных исходов. Причем в результате 1 опыта должен осуществится какой-нибудь 1 из них. Эту совокупность и называют совокупностью всех элементарных исходов опыта.

А={1 или 2 или 3}-составное

Если элементарные исходы равновозможные, то это случаи. Тогда опыт сводится к схеме случая. И для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей. Он основан на подсчете благоприятных случаев.

Случай является благоприятным событию, если его появление влечет появление данного события.

(1.1)

m(А)-число благоприятных случаев

n-общее число случаев

Р(А)-вероятность события А

Р(А)=3/6 – для игр в кости(четный случай)

(1.1) – только для схемы случая

(1.2) , следовательно

Р(V)=0

P(U)=1

Пример: в мешке 2 белых и 3 черных шара. Найти вероятность достать белый шара?

А – белый шар

Так как извлекаем наугад, то опыт сводится к схеме случая.

n=5

m(A)=2

P(A)=2/5

Частотный подход основан на понятии частоты. Это опытный подход. Частотой события А в данной серии опытов называем отношением числа опытов, в которых произошло данное событие к общему числу опытов.

(1.3) Р^* (А)=m(А)/n

 

Р^* - частота А

m(А) – опыты, в которых произошло А

n – число опытов

 

, следовательно 0≤Р^*≤1

 

Р^*(V)=0

Р^*(U)=1

 

Частота имеет свойство устойчивости.

Величина, около которой стремится стабилизироваться частота А при увеличении n называется вероятностью события.

Рассмотрим 2 несовместных события А₁ и А₂. m(А₁ или А₂)=m(А₁)+m(А₂)

Р^*(А₁ или А₂)= m(А₁ или А₂)/n=m(А₁)/ n+m(А₂)/ n= Р^*(А₁)+ Р^*(А₂) (1.6)

 

Вопрос 2.

Аксиоматическое строение теории вероятности.

В основе лежит построение математической модели случайного эксперимента. При введении аксиом используется частотный подход.

Случайный эксперимент->модель случайного эксперимента

Множество элементарных исходов->пространство элементарных событий

={ }

₁={ЦЦ}

₂={ГЦ}

₃={ЦГ}

₄={ГГ}

Множества

 

Счетные – можно поставить в соответствии натуральных чисел, то есть пронумеровать.

Например, бросание монеты до появления герба

₁={Г} ₂={ЦГ} ₃={ЦЦГ} …

 

Непрерывные – когда заполняется полностью интервал.

Подмножества пространства называются событиями. Таким образом любое событие в точке _i, составляющие событие А называются благоприятствующими события А или входящими в событие А.

А – выпадение герба.

А={ω₂+ ω ₃}

UóΩ А=А₁∙А₂

Vó0

Построение алгебры событий позволяет изображать случайные события через простые.

Если всякий раз, когда происходит событие А происходит и событие В, то говорят, что А входит в В.

 

А и В – несовместные, так как

не имеют общих точек. Ω

 

Диаграмма Венна

Ω

А входит в В =>

 

Если каждый раз, когда происходит событие А, происходит событие В и,когда происходит В, происходит и А, то говорят, что события А и В равносильны или эквивалентны.

Ω

А=В

 

Суммой событий А и В называют событие С, наступающее тогда, когда наступает хотя бы 1 из событий А или В.

С=А+В→(теоретико-множественный подход)→С=АUВ (объединение)

Ω

 

Произведением А и В называется событие С, наступающее тогда, когда наступает событие А и В.

С=АВ→(ТМП)→А∩В

Ω

 

 

А+А=А А∙А=А А+U=U А∙ U= А А+V=А А∙ V= V

АUА=А А∩А=А А+Ω=Ω А∩Ω=А АU V=А А∩0=0

 

Законы:

1. переместительный (коммутативный)

А+В=В+А

АВ=ВА

2. сочетательный (ассоциативный)

(А+В)+С=АВ+ВС

(АВ)С=А(ВС)

3. распределительный (дистрибутивный)

А(В+С)=АВ+АС

А+(ВС)=(А+В)(А+С)

 

 

События, наступающие, когда не наступает событиеА, называется противоположным событию А(или ).

U=v V=U А=А А+ А=U

↓ТМП ↓ТМП ↓ТМП

Ω=0 0=Ω А+ А=Ω

 

 

А А=V

A∩ A=0

 

Правило де Моргана (А+В)= А+ В

(АВ)= А+ В

А и В – несовместные, если пересечение А и В=0 (А∩В=0)

Событие А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу, если Uⁿ_i=1A_i=Ω

Р(А) – вероятность события А

Событию А ставится в соответствие числу Р(А)

Аксиомы:

· вероятность А заключена между 0 и 1() (1.7)

· Р(V)=0, Р(U)=1 (1.8)

· Если А и В несовместные события(А∩В=0), то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (1.9)

 

Р(А)= _ωi?AР(ω_i) (1.10)

На основании (1.8) получим Р(Uⁿ_i=1ω_i)=P(Ω)=1

На основании (1.9) получим Р(Uⁿ_i=1ω_i)= ⁿ_i=1P(ω_i)

 

 

ⁿ_i=1P(ω_i)=1

Тогда все элементы события равновозможные.

Р(ω₁)= Р(ω₂)=…= Р(ω_n)=1/n

|A|=m(А)

Мощность множества А – числоточек, входящих в А

Подставим в (1.10) |A|=m(А):

Р(А)= m(А)/n

Пространство элементарных событий Ω с заданным на нем распределением вероятности называется вероятностным пространством.

 

 

Вопрос 3.

Правило сложения.

1. для несовместных событий вероятность суммы 2 несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

А∩В=0, i≠j→Р(Σⁿ_i=1A_i)= Σⁿ_i=1P(A)

Следствия:

· если событие А₁, А₂,…,А_n несовместны и образуют полную группу, то их сумма вероятностей равна 1.

А_i∩A_j=0, i≠j, Uⁿ_i=1A_i=Ω→Σⁿ_i=1P(A_i)=1

· сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р( А)=1

Р(А)=1-Р( А)

А={ω_2,ω₃,ω₄}

A={ω₁} – вероятность появления хотя бы 1 герба Р(А)=1 – Р{ЦЦ}

 

2. для совместных событий

 

С

В

А

А=

В=

С=

Р(А+В)= Σ_ωi?AUBP(ω_i)= Σ_ωj?AР(ω_i)+ Σ_ωk?B-Σ_ωl?ABP(ω_l)=Р(А)+Р(В)+Р(АВ)

(А₁+А₂+…+А_n)= А₁∙ А₂∙…∙ А_n

То в соответствии со следствием 2:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-P( A₁∙…∙ A_n)

 

Вопрос 4.