Закон распределения НСВ – предельный закон распределения.
Закон распределения суммы НСВ, имеющих произвольные законы распределения при увеличении числа слагаемых стремится к нормальному закону. НСВ распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения задается f(x)=1/σ√2π*e-(x-m)2/2 σ2 (2.23)
fmax=1/(σ√2π) Kривая симметрична относительно m
M(x)= ∞-∞∫хk f(x)dx=1/(σ√2π)*∞-∞∫xe-(x-m)2/2 σ2 dx
Z=(x-m)/σ→x=σz+m, dx= σdz
M(x)= 1/(σ√2π)* ∞-∞∫σze-z2/2σdz+1/(σ√2π)* ∞-∞∫me-z2/2σdz=σ/√2π*∞-∞∫ze-z2/2dz+m/√2π*∞-∞∫e-z2/2dz=m, так как σ/√2π*∞-∞∫ze-z2/2dz=0(это интеграл симметричной функции в симметричных пределах)
M(x)=m, Д(x)=σ2, σ(x)=σ
M(x) характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс. При изменении величины m, кривая будет двигаться вдоль ох не менее своей формы.
σ1
σ2
σ3 σ1 <σ2 <σ2
F(x)= 1/(σ√2π)* x-∞∫e xe-(x-m)2/2 σ2 dx
z=(x-m)/σ
F(x)= 1/(σ√2π)* (x-m)/σ-∞∫e-z2/2σdz=1/2π(x-m)/σ-∞∫e-z2/2dz (2.24)
Функция Лапласа Ф(х)= 1/√2π* x-∞∫e-z2/2dz (2.25)
Свойства функции Лапласа:
1. Ф(х) – монотонно возрастающая функция, так как ее производная величина положительная. Ф(х)’=1/√2π* e-х2/2>0
2. Ф(х) - нечетная
Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0
3. Ф(+∞)=1/√2π ∞0∫e-z2/2dz=1/2
F(x) =1/√2π 0-∞∫e-z2/2dz+1/√2π (x-m)/σ0∫e-z2/2dz=1/2+Ф((x-m)/σ) (2.26)
P(α<X<β)=F(β)-F(α)
P(α<X<β)=Ф((β-m)/σ)-Ф((α-m)/σ) (2.27)
f(x)
 |
β=m+l
α=m-l
 |
α l l β x
m
P(m-l<X<m+l)=Ф(l/σ)-Ф(-l/σ)
Р(|X-m|<l)=2Ф(l/σ) (2.28)
L=z*σ
P(|X-m|<zσ)=2Ф(z) (2.29)
Z=3=>Ф(z=3)=0,4986
P(|X-m|<3σ)=0,9972≈1
m-3σ<x<m+3σ=> правило трех сигм. Следовательно достоверно, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического не превысит по абсолютной величине 3σ, то есть диапазон распределения (m-3σ; m+3σ)
Вопрос 13.
Функция распределения системы двух случайных величин.
Функция распределения системы двух случайных величин X,Y(или совместной функцией распределения двух случайных величин) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: Х<x, Y<y.
F(x,y)=P(X<x,Y<y) (3.1)
Y
(x,y)
Вероятность попадания в этот квадрант есть функция
распределения
X
Основные свойства совместной функции распределения:
1. функция распределения F(x,y) – есть неубывающая функция своих аргументов, то есть
х2>x1→F(x2,y)≥F(x1,y)
y2>y1→ F(x,y2)≥F(x,y1)
2. повсюду на -∞ функция распределения равна нулю. F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0
3. при одном из аргументов,равных +∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу.
(3.2) F(x,+∞)=F1(y), F(+∞,y)=F2(y)
4. 
если оба аргумента равны +∞, функция распределения системы равна единице.
y
|
S
γ
α β x
A=((X,Y)ЄR)
B=(α≤x≤β)
C=(γ≤Y≤S)
A=B*C
y (α,S) (β,S)
S
γ
(α,γ) (β,γ)
α β x
P((X,Y)ЄR)=F(β,α)-F(α,S)-F(β,γ)+F(α,γ) (3.3)
Вопрос 14.
Плотность распределения системы 2-х случайных величин.
P((x,y) Є R∆) = F(x+∆x, y+∆y) – F(x, y+∆y) – F(x+∆x, y) + F(x, y)
P((x, y) Є R∆) δ²F(x, y)
Lim = —————— = ——— = F''xy(x, y)
∆x→0 ∆ x∆ y δx δy
∆ y→0
δ²F(x, y)
f(x, y) = ——— (3.4) – плотность распределения системы двух непрерывных случайных
δx δy величин или совместная плотность 2-х случайных величин.
f(x, y)dxdy – элемент вероятности попадания в прямоугольник со сторонами dx и dy.
P((x,y) Є D)=∫ ∫f(x,y)dxdy (3.5)
D
Если D представляет собой прямоугольник R, то вероятность попадания случайной точки:
β δ
P((x,y) Є R)= ∫ ∫f(x)dxdy (3.6)
αγ
Используя 3.6, можем получить:
x y
F(x,y)= ∫ ∫f(x,y)dxdy (3.7)
-∞-∞