Формула полной вероятности. (формула Байеса).

Пусть событие А может произойти вместе с 1 из несовместных событий Н₁, Н₂,…,Н_s,

Нs

…….

…

Н1

Образующих полную группу.

Н₁, Н₂,…,Н_s – гипотезы

А=АН₁+АН₂+…+АН_s

 

Р(А)= Р(АН₁)+Р(АН₂)+…+Р(АН_s)= Σ^s_i=1Р(АН_i)

События А и Н_i зависимые =>

Р(А)=Σ^s_i=1Р(Н₁)∙Р(А/Н_i) – формула полной вероятности

Пример:

Из партии в 50 деталей 20 изготовлены на первом станке, 25 – на втором станке, 5- на

третьем. Известно, что вероятности выпуска бракованных деталей на первом, втором и третьем равны 0.02, 0.01, 0.05 соответственно. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной.

А - взятая наугад деталь бракованная

Н₁ – деталь изготовлена на 1 станке

Н₂ – деталь изготовлена на 2 станке

Н₃ – деталь изготовлена на 3 станке

Р(Н₁)=20/50=0.4

Р(Н₂)=25\50=0.5 сумма вероятностей гипотез равна 1

Р(Н₃)=5/50=0.1

Р(А/Н₁)=0.02 Р(А/Н₂)=0.01 Р(А/Н₃)=0.05

Р(А)=0.4*0.02+0.5*0.01+0.1*0.05=0.018

Р(А) ∙Р(Н_i/А)=Р(Н_i)∙ Р(А/Н_i), i={1,…,S}

Разделим обе части на Р(А)

Р(Н_i/А)= Р(Н_i)∙ Р(А/Н_i)/Р(А)

Р(Н_i/А)= Р(Н_i)∙ Р(А/Н_i)/ (Σ^s_i=1Р(Н₁)∙Р(А/Н_i), i={1,…,S} (1.18) – теорема гипотез

Пример:

Р(Н₁/А) – бракованная деталь взята на 1 станке

Р(Н₂/А) – на 2 станке

Р(Н₃/А) – на 3 станке

Р(Н₁/А)=0.4*0.02/0.018=0.44

Р(Н₂/А)=0.5*0.01/0.018=0.28

Р(Н₃/А)=0.1*0.05/0.018=0.28

Сумма равна единице, следовательно это полная группа.

Формула Байеса используется для выработки статистических решений. Пример схемы выработки: имеются 2 суждения о надежности прибора, характеризуемые вероятностью безотказной работы. Завод – изготовитель обещает вероятность 0.95. испытательная лаборатория обещает 0.8. Определить, на основании эксперимента, какой из указанных характеристик следует дать предпочтение:

Н₁ – верны данные завода – изготовителя

Н₂ – верны данные испытательной лаборатории

Р(Н₁)=Р(Н₂)=1/2

А – прибор выдержал испытание

В – не выдержал

Тогда Р(А/ Н₁) – верно испытание завода, Р(А/ Н₁)=0.05, Р(А/ Н₁)=0.95

Р(А/ Н₂)=0.8, Р(А/ Н₂)=0.2, Р(Н₁/А)=0.54, Р(Н₂/А)=0.46, Р(Н₁/А)=0.2, Р(Н₂/А)=0.8

 

Вопрос 6.

Повторение опытов.

Опыты повторяются многократно. Нас интересует сколько раз в этих опытах появится событие А.

Например, стрельба по мишени.

Рассмотрим ситуацию, когда опыты независимые. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие выводы.

Например, бросание монеты.

Независимые опыты могут происходить в одинаковых или различных условиях.

Р(А)=р=const – в одинаковых условиях – частная теорема о повторении опытов.

Р₁,Р₂,…,Р_n – в различных условиях – общая теорема о повторении опытов.

Частная теорема о повторении опытов.

Опыт повторяется n раз. для каждого из них можем построить Ω.а для n раз – Ω^*(пространство составного опыта, каждая точка пространства состоит из n событий А и этих n последовательностей 2 ⁿ).

Пусть n = 3(3 выстрела по мишени).

А_i, i={1,2,3} – попадание при i- ом выстреле

А_i, i={1,2,3} – промах при i- ом выстреле

Пространство Ω^* содержит 2³=8 точек, Ω→8

 

 

 

А=р, А=1-р

Р(А₁, А₂, А₃)=Р(А₁)∙Р(А₂)∙Р(А₃)=(1-р³)

В₂ – в мишень попадает ровно 2 снаряда

В₂={ω₄,ω₆ ,ω₇}= А₁А₂А₃+А₁А₂А₃₊А₁А₂А₃

Р(В₂)=Σ_ωi?B2P(ω_i)=3р²(1-р)

 

Пусть произведено n опытов, из которых в каждом появляется или не появляется А.

р- А

1-р - А

Найти вероятность Р_n(m) – вероятность появления события А в n опытах ровно n раз.

Рассмотрим В_m: событие А появляется m раз.

m- раз событие А

n- m - раз событие А

р ^m – А

(1-р) ^{n- m} - А

Р ^m(1-р) ^{n- m} = р ^mq^{n- m}

Р _n (m)=С^m_np^m(1-р)^n-m = С^m_np^mq^n-m (1.19)

(q+p)ⁿ= Σⁿ_m=0 С^m_np^mq^n-m– Бином Ньютона, => (1.19) – биномиальное

P_n(≥m) – вероятность того, что А произойдет не менее m раз.

P_n(≥m)=Σⁿ_k=mC^k_np^kq^n-k=1- Σ^m-1_k=0C^k_np^kq^n-k p_n(<m), то есть менее m раз

 

Вопрос 7.