Признаки сходимости числовых рядов c положительными членами

 

Числовой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным рядом, если все члены ряда

 

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n +...

 

больше нуля . Рассмотрим признаки сходимости для положительных рядов.

Первый признак сравнения. Пусть даны три ряда:

ряд, сходимость которого надо определить

 

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n +... (15.4)

 

сходящийся ряд v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n +... (15.5)

 

расходящийся ряд w ₁ + w ₂ + w ₃ +... + w_n +... (15.6)

Тогда:

а) если начиная с некоторого номера n, выполняется условие u_n £ v_n (15.7)

 

то из сходимости ряда (15.5) следует сходимость ряда (15.4);

б) если, начиная с некоторого номера n, выполняется условие u_n ³ w_n (15.8)

то из расходимости ряда (15.6) следует расходимость ряда (15.4).

Доказательство.

а). Обозначим частичные суммы рядов

S_n = u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n

Ф_n = v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n

в силу условия (15.7) имеем S_n £ Ф_n.

По условию ряд (15.5) сходится, т.е. = Ф, следовательно

Ф ³ Ф_n ³ S_n.

Это означает, что последовательность частичных сумм S_n возрастает (в силу положительности ряда (15.4)) и ограниченна сверху величиной Ф. Поэтому существует и конечен, а ряд (15.4) сходится.

б). Обозначив частичную сумму ряда (15.6) за W_n

W_n = w ₁ + w ₂ + w ₃ +... + w_n,

в силу (15.8) имеем S_n ³ W_n.

По условию ряд (15.6) расходится, т.е. = ¥, следовательно

и ряд (15.4) расходится.

 

Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда

 

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n +... (15.9)

v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n +... (15.10)

 

и можно указать такие постоянные числа k₁ > 0 и k₂ > 0, что, начиная с некоторого достаточно большого n,

 

(15.11)

Тогда ряды (15.9) и (15.10) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Из (15.11) следует, что

 

k ₁ v_n £ u_n £ k ₂ v_n. (15.12)

 

Если ряд (15.9) сходится, то из левого неравенства (15.12) по первому признаку сравнения вытекает сходимость ряда

k ₁ v ₁ + k ₁ v ₂ + k ₁ v ₃ +... + k ₁ v_n +...

Из сходимости этого ряда, по свойству 2, вытекает и сходимость ряда (15.10).

Предположим теперь, что ряд (15.9) расходится. В этом случае расходится и ряд

Из правой части (15.11) следует, что

Следовательно, по первому признаку сравнения, ряд (15.10) также расходится.

Следствие (предельный признак сравнения). Если для рядов (15.9) и (15.10) выполняется условие

= r < ¥, где r ¹ 0, (15.13)

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

 

Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды.

Геометрический ряд (ряд геометрической прогрессии)

a + aq + aq ² +... + aq^{n -1} +....

Геометрический ряд сходится при условии . В противоположном случае ( ³ 1) ряд расходится. Например, ряд

сходится (), а ряд

1 + 2 + 4 +... + 2 ^{n -1} +...

расходится (q = 2). Можно также сказать, что этот ряд расходится потому, что не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд

Этот ряд сходится при p > 1 и расходится при p £ 1.

Например, ряд

- сходится, а ряд

- расходится.

Обобщенный гармонический ряд при p = 1 называют просто гармоническим рядом:

Гармонический ряд расходится!

Действительно, сгруппируем члены ряда по степеням 2

так как сумма слагаемых в каждой скобке больше , то

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним общий член этого ряда с геометрическим рядом , который сходится.

Так как

то, по первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравнивая общий член этого ряда с общим членом гармонического ряда

заключаем, что этот ряд также расходится (по первому признаку сравнения).

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Воспользуемся следствием из второго признака сравнения, сравним с расходящимся гармоническим рядом

При вычислении предела мы использовали правило Лопиталя: предел отношения двух функций с неопределенностью или равен пределу отношения производных . Поэтому .

Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, поэтому заключаем, что исследуемый ряд расходится (т.к. гармонический ряд расходится).

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Рассмотрим отношение членов этого ряда к соответствующим членам гармонического ряда:

- при нечетном n имеем

- при четном n имеем

Следовательно, отношение u_n / v_n ни к какому пределу не стремится. Однако при всех n оно заключено между 1/2 и 2. Поэтому согласно второму признаку сравнения исследуемый ряд ведет себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.

 

Признак Даламбера сходимости рядов. Пусть дан положительный ряд

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n +... (15.14)

Если отношения последующего члена ряда u_n к предыдущему u_{n- 1}, начиная с некоторого значения n = N, удовлетворяет неравенству

(15.15)

то ряд (15.14) сходится.

Если же, начиная с некоторого N, имеем

(15.16)

то ряд (15.14) расходится.

Доказательство. Пусть соотношение (15.14) выполняется для всех n. По первому свойству рядов без потери сходимости можно отбросить конечное число первых членов ряда. Тогда

u_n £ q u_{n -1}, u_{n -1} £ q u_{n -2},..., u ₂ £ q u ₁.

Отсюда, подводя по членную подстановку, и возвращаясь к u_n получим

u_n £ u ₁ q^{n -1}

Это неравенство означает, что общий член ряда (15.14) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q < 1) геометрического ряда. В силу первого признака сравнения ряд (15.14) сходится.

Пусть имеет место соотношение (15.16). Тогда

u ₁ < u ₂ < u ₃ <...< u_{n -1} < u_n <...,

т.е. члены ряда не убывают по мере возрастания n. Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости ряда и ряд (15.14) расходится.

На практике удобнее пользоваться предельным признаком Даламбера, формулировку которого дадим в виде следствия.

Следствие. (Предельный признак Даламбера). Если

,

то при p < 1 ряд (15.14) сходится, при p > 1 этот ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Рассмотрим предел отношения

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Замечание. Если , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этих случаях надо привлекать другие признаки сходимости ряда.

Признак Даламбера хорошо работает для рядов, содержащих и .