Кинематические уравнения движения (уравнения для скорости и радиус-вектора).

Для движения точки с постоянным ускорением

а = d u /dt = const, ее скорость определится интегрированием соотношения d u = а× dt:

òd u = ò а× dt Þ u - u _о = а t Þ u = u _о + а t

Аналогично, зная скорость u = d r /dt, найдём радиус-вектор r, определяющий местоположение тела. Интегрируя соотношение d r = u dt, получим:

òd r = ò u dt = ò(u _о + а t)dt Þ r – r _о = u _оt + а t²/2 Þ r = r _о + u _оt + а t²/2

Кроме ускорения а, решение основной задачи механики, т. е. определение скорости u
и местонахождения r точки, требует знания начального сос­тояния движения точки, т. е. значений скорости u _о и положения r _о точки в начальный момент времени t = 0. Задача нахождения ускорения тела решается в следующем за кинематикой разделе механики - динамике.

На практике полученные векторные уравнения для скорости и радиус - век­тора используют обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат:х = х_о + u_охt + а_хt²/2; у = у_о + u_оуt + а_уt²/2; z = z_о + u_оzt + а_zt²/2;

В прямолинейном одномерном движении можно записать следующие формулы для скорости и пути:

u = u_о + аt и S = u_оt + аt²/2, где путь S в однонаправленном движении равен модулю разности координат конечного и начального положений тела.

 

3. Абсолютно твердое тело. Виды движения абсолютно твердого тела. Кинематика вращательного движения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.

В тех ситуациях, когда размерами и формой движущегося тела нельзя пренебречь, его часто можно смоделировать твёрдым телом – совокупностью материальных точек с неизменными расстояниями между ними. При этом про­извольное движение такого тела обычно может быть разложено на такие бо­лее простые, независимые движе­ния, как поступательное и вращательное.

Под поступательным движением твёрдого тела понимают такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся при его движении параллельной самой себе ( Поступательным является, прежде всего, прямолинейное движение, а также и такие виды криволинейного движения, движение в кабине колеса обозрения...). Существенно, что при поступательном движении все точки тела дви­жутся

эквивалентно, т. е. по идентичным траекториям с одинаковыми мгновенными скоростями и ускорениями.

Поэтому механика поступательного дви­жения твёрдого тела в целом не содержит в себе принципиальных отличий от механики точки и по существу сводится к ней. В качестве некоторой выделенной точки твердого тела выбирают его центр масс, который еще называют центром инерции.

Иначе обстоит дело с вращательным движением. Простейший его вид - вращение вокруг неподвижной оси. В нем все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вра­ щения. Во вращательном движении разные точки тела (разно удалённые от оси вращения) за одно и тоже время Dt совершают разные линейные перемещения Dr и, соответственно, обла­дают разными линейными скоростями и ускорениями. Одинаковыми же для всех точек вращающегося вокруг оси тела будут не линейные, а угловые кинема­тические характеристики (скорости и пути, перемещения). Они и будут адекватными (и удобными) характеристиками вращательного движения тела в целом. Вращающееся вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы. Линейное перемещение Dr (или dr) пропорционально расстоянию R до оси вращения. Угло­вое же перемещение Dj (или dj), равное линейному Dr, делённому на радиус R соответствующей окружности, то есть dj = dr/R, не зависит от R.

Соответственно и быстрота w = dj/dt [рад/с = с^-1] углового перемещения (или изменения утла поворота j), называемая угловой скоростью, и быстрота её изменения e = dw/dt [рад/с² = с^-2], называемая угловым ускорением, не зависят от радиуса окружности, то есть являются оди­наковыми для всех точек вращающегося тела.

Линейные и угловые характеристики точки, вращающейся по окружности радиуса R взаи­мосвязаны следующим образом:

w= dj/dt = (dr/R)/dt = u/R; Þ u = wR.

e = dw/dt = d/dt(u/R) = (1/R)du/dt = а_t/R Þ а_t = eR

а_n = u²/R = (wR)2/R = w²R;

а = Ö(а_t² + а_n²) = Ö(e²R² + w⁴R²) = [Ö(e² + w⁴)]/R.

Так как dr = Rdj = rsin q×dj, то в векторной форме d r = [d j, r ]. Поделив полученное равенство на dt, получим: d r /dt = u = [d j /dt, r ] = [ w, r ] Þ u = [ w, r ].

а = d u /dt = d/dt[ w, r ] = [d w /dt, r ] + [ w, d r /dt] = [ e, r ] + [ w, u ] = а _t + [ w, [ w, r ]] = а _t + а _n, где

а _t = [ e, r ] и а _n = [ w, [ w, r ]] = - w² R.

Направление векторов d j и w определяется правилом правого винта (буравчика), совпа­дая с его поступательным перемещением при вращении рукояти в направ­лении вращения тела.
Угловое же ускорение e = d w /dt совпадает, по направ­лению с элементарным приращением d w
угловой скорости: e ­­d w. Оно, таким образом, направ­лено по направлению w при ускоренном
(dw/dt > 0) вращении и против направ­ления w при замедленном (dw/dt < 0) вращении.

Векторный характер w и e позволяет характеризовать с их помощью не только быстроту вращения, но и ориентацию оси вращения в пространстве, и направление вращения.

Так же, как и для линейных, для угловых кинематических характеристик справедливы аналогичные уравнения для скорости и перемещения во враще­нии с постоянным ускорением:
w = w_о ± et и j = j_о + w_оt ± et²/2, где знак ²плюс ² - для ускоренного вращения, а ²минус² - для замедленного вращения.

Также как и в поступательном движении, для решения основной задачи механики вращательного движения (определе­ния угловой скорости и положения в любой момент времени) необходимо знать начальное состояние движения (характеристики j_о и w_о), а также угловое ускорение e. Задача определения ускорения движущегося тела ре­шается в следующем за кинематикой разделе механики, называемом динамикой. В практических задачах на анализ вращательного движения часто исполь­зуют такие
характеристика, как число оборотов N, связанное с угловым путем j очевидным соотношением
N = j/2p, и частота вращения n = dN/dt или для равномерного вращения n = N/t:

n = (dj/dt)/2p = w/2p Þ w = 2pn; j = 2pN.

Время одного оборота Т = 1/n называется периодом вращения:w = 2p/Т или Т = 2p/w.

 

4.Динамика материальной точки.Масса.Сила. Импульс(количество движения).Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона, утвер­ждает, что свободно движущееся тело, т. е. тело, на которое не действуют другие тела (или действие их взаимно скомпенсировано), относительно некоторых систем отсчета движется с неиз­менной скоростью (иногда говорят - движется по инерции). Первый закон Ньютона выделяет определенный класс систем отсчета, называемых инерциальными, в которых движение свободного тела имеет наиболее простой вид (происходит равномерно и прямолинейно, в частном случае – покоится),
и в которых только и верна механика Ньютона. Иногда его и формулируют в виде утверждения
о сущест­вовании инерциальных систем отсчёта (ИСО). Если известна хотя бы одна ИСО, то все ИСО, движущиеся относительно неё с постоянной скоростью, также будут инерциальными.

Обычно в качестве ИСО выбирают систему отсчёта, связанную с Землёй - геоцентрическую систему отсчёта. Её инерциальность приближенная, нарушаемая суточным вращением Земли вокруг своей оси. Большей степенью инерциальности обладает гелиоцентрическая СО, связываемая с Солнцем. На практике же, достаточной долей инерциальности обладает лабораторная система отсчета, связываемая с конкретным телом на Земле.

Согласно принципу относительности Галилея, все ИСО являются равноправными в отображении механических явлений, то есть все законы механики во всех ИСО имеют одинаковый вид и никакими механическими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя обнаружить движется она или покоится.

В ИСО все наблюдаемое ускорение тела объясняется воздействием на него состороны конкретных, окружающих его тел.В качестве меры этого воздейст­вия, вызывающего ускорения тел в ИСО, в механике Ньютона выбирается величина, называемая силой F. Сила F является векторной функцией положения и/или скорости тела относи­тельно ИСО, то есть F = F (r, u), и она прямо пропорциональна сообщаемому ею ускорению а тела: F (r, u) ~ а или а ~ F

Если на тело действует несколько сил, их можно заменить геометрической результирующей F _S = S F _i - принцип суперпозиции сил (независимого наложения, сложения) сил.

Одна и та же сила сообщает разным телам разные ускорения. Таким образом, ускорение, приобретаемое телом, зависит не только от внешних воздействий, но и от внутрен­них свойств тела, мерой которых в механике Ньютона выбрана величина, названная массой (Под массой тела Ньютон понимал величину, пропорциональную его плотности и объему, то есть: m = ρV.) m тела. Очевидно, что более массивные тела, обладающие большей массой, должны приобретать меньшие ускорения при одинаковых воздействиях (силах).

В результате можно связать ускорение с силой и массой в следующем виде: а = F_S /m и утверждать, что ускорение а, приобретаемое точечным телом в ИСО прямо пропорционально действующей на него (или, как ещё говорят - приложенной к нему) результирующей силе F_S и обратно пропорцио­нально массе m тела. Это утверждение и представляет собой основной закон динамики материальной точки (и поступательного движения твёрдого тела) - второй закон Ньютона.

В механике Ньютона имеет место однозначная линейная взаимосвязь между мерами движения и взаимодействия, порождающая однозначную причинность и предсказуемость движения, называемую еще лапласовским или механистическим детерминизмом.

Такая динамическая характеристика тела, как его масса, выступает, мерой его инертности, неподатливости к изме­нению скорости, к изменению состояния движения. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при воздействии одной и той же силы, т. е. тем медленнее изменяется его скорость. Инертность и выража­ет собой невозможность мгновенного изменения скорости тела, растяну­тость этого изменения во времени, т. е. замедленность изменения скорости тела. Измерение массы как меры инертности тела может быть осуществлено путём измерения и сравнения приобретаемых разными телами ускорений при воздействии на них одной и той же силы. Выбрав одно из тел за эталон массы, можно через его массу выразить массы других тел. Единица массы - килограмм (кг) является основной в СИ. Масса является аддитивной характеристикой тела, т. е. масса m_S совокупности тел, частиц равна сумме масс этих тел (частиц) по отдельности: m_S = Sm_i.

Сила, как векторная мера взаимодействия тел, измеряется производи­мым ею эффектом, численно равным произведению массы тела на его ускорение: F = mа.
Единица силы в СИ - ньютон - сила, сообщающая телу массой в 1 кг ускорение в 1 м/с².

При решении конкретных задач динамики 2-ой закон Ньютона записывают обычно в скалярной форме,т. е.в виде проекций на оси координат соответствующей ИСО:

а_х = F_х/m mа_х = F_х

а = F /m Þ а_у = F_у/m или mа_у = F_у

а_z = F_z/m mа_z = F_z

При этом предполагается справедливость принципа суперпозиции (независимости действия и векторного характера сложения) сил, согласно которому результирующее ускорение, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых телу действующими на него силами по отдельности.

2-ой закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение а тела массой m, если известен
характер действующих на него сил, то есть их зависимость от координат и скорости.
В зависимости от характера этой зависимости различают ряд следующих видов сил:

- сила тяжести

F = m g - направлена вертикально вниз и, так как она прямо пропорциональна массе тела, сообщает всем телам одинаковое ускорение g » 9,8 м/с² (ускорение свободного падения); масса m здесь уже не инертная, а тяжелая- мера силы тяжести.

- сила гравитационного взаимодействия

F_гр = G×m₁m₂/r² - опре­деляет притяжение двух тел
с массами m₁ и m₂, разделённых расстоя­нием r. Коэффициент G = 6,67×10^-11 Н×м²/кг² – называется гравитационной постоянной. Масса здесь также тяжелая, выступающая в роли гравитационного заряда (двоякий смысл массы - мера инертности и мера гравитации).

- сила упругости

F _у = - k х, где х – вектор линейной деформацииупругого тела (вектор приращения длины относительно ее недеформированного, равновесного значе­ния), а k - коэффициент упругости или в применении к пружине - жёст­кость пружины.

- сила вязкого сопротивления

F = - r× u, где u - скорость тела в вязкой среде, r - коэффициент сопротивления среды (обычно жидкой или газо­образной).

Кроме названных выше сил большое значение в решении задач механики имеют такие силы, как вес тела и сила трения, которые не имеют явного выражения через коорди­наты или скорости:

- весом тела Р называют силу, с которой тело действует на подвес или опору;

- силой трения скольжения F_тр называют силу, прямо пропорциональную силе F_нд нормального давления (Обычно ее заменяют на численно равную ей силу N реакции опоры, то есть Fтр = μN.), т. е. составляющей веса тела, нормальной к поверхности опоры: F_тр = mF_нд, где m - коэффициент трения скольжения тела о поверхность. Сила трения скольжения направлена против перемещения тела и является составляющей силы реакции опоры.

Исторически исходной (ньютоновской) формулировкой 2 - го закона Ньютона была следующая: F = d Р /dt, где Р = m u - импульс тела. Эта форма записи второго закона Ньютона является более общей, сводящейся к известной ранее F = m а при условии независимости массы m тела от скорости u его движения. F = d Р /dt = d(m u)/dt = m×d u /dt = m а.

Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек в инерциальной системе отсчета: равны по модулю;
противоположны по направлению; и действуют вдоль прямой, соединяющей точки

F ₁₂ = - F ₂₁

F ₁₂ - сила, действующая на первое тело со стороны второго тела; F ₂₁ - сила, действующая на второе тело со стороны первого тела. Этот закон вместе с первыми двумя законами Ньютона, позволяет осуществить переход от динамики точки к динамике системы точек.

 

5. Система материальных точек. Силы внешние и внутренние. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим простейшую замкнутую (Замкнутой называют такую систему тел, на которую не действуют внешние тела (силы), и тела которой взаимодействуют лишь между собой, посредством сил, называемых внутренними.) систему из двух материальных точек. Исходя из смысла силы как быстроты изменения импульса, третий закон Ньютона можно записать в виде:

d Р₁ /dt = - d Р₂ /dt Þ d Р₁ = - d Р₂ Þ d(Р ₁ + Р ₂) = 0 Þ Р ₁ + Р ₂ = const

Полученное равенство выражает собой закон сохранения импульса (ЗСИ) замкнутой системы из двух материальных точек, т. е. точек, взаимодействующих лишь между собой. Общий (суммарный, результирующий) импульс двух тел остается при их движении постоянным, и может при их движении лишь перераспределяться между ними.

Движение может лишь передаваться от одних тел к другим, так что общее его количество в замкнутой системе тел остается неизменным, то есть сохраняется. Полученный выше для двух точек закон сохранения импульса легко обобщается на замк­нутую систему из произвольного числа N материальных точек, и его можно сформулировать так: при любом движении замкнутой системы материальных точек полный её импульс остаётся неизменным: S Р _i = const; внутри системы воз­можны лишь перераспределения импульса между отдельными точками.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Запишем второй закон Ньютона для i - ой точки: d Р_i /dt = F _i. Результирующую силу F _i, действующую на i - ую точку системы представим в виде суммы внешних и внутренних сил: F _i = F _{i внеш} + S F _ik, где F _ik – внутренняя сила, дейст­вующая на i - ую точку системы со стороны ее k – ой точки. Полученное равенство d Р_i /dt = F _{i внеш} + S F _ik, выражающее второй закон Ньютона для i - ой точки системы, просуммируем по всем ее n точкам: Sd Р_i /dt = S F _{i внеш} + SS F _ik. По третьему закону Ньютона силы воздействия i - ой и k – ой точек друг на друга равны по величине и противоположны по направлению, то есть F _ik = - F _ki. Поэтому при суммировании внутренних сил по всем точкам системы они взаимно скомпенсируют друга, так что SS F _ik = 0. Тогда второй закон Ньютона для системы материальных точек запишется в виде: Sd Р_i /dt = d/dtS Р_i = d Р _S/dt = S F _{i внеш} = F _{S внеш}. Или окончательно d Р _S/dt = F _{S внеш}

Если система замкнута, то есть результирующая действующих на нее внешних сил равная нулю: F _{S внеш} = 0, то d Р _S/dt = 0, откуда следует Р _S = S Р_i = const – закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.

Сохране­ние импульса - величины векторной - означает сохранение и любой его состав­ляющей, проекции на любую ось, любое направление в пространстве. В конкретных задачах
динамики векторный закон сохранения импульса за­писывают в скалярной форме, проецируяего на соответствующие направления.

Закон сохранения импульса является эффективным средством, методом реше­ния основ­ной задачи механики (ОЗМ), т. к. он выражает собой взаимосвязь мер (коли­честв) движения взаимодействующих тел. Особенно плодотворнымего применение оказывается для кратковре­менных взаимодействий типа удара, взрыва-разрыва, выброса тел, где труд­но задать характер сил, то есть использовать под­ход к решению ОЗМ с непосредственным использованием законов Ньютона. Зная, например, импульсы Р ₁ и Р ₂ двух тел до удара и импульс Р _i^¢ одного из тел после удара, можно, пользуясь законом сохранения импульса, рассчитать импульс другого тела после удара.

 

 

6. Система материальных точек. Центр масс. Движение центра масс замкнутой системы.

При поступательном движении системы материальных точек /твёрдого тела/ все точки системы движутся с одинаковыми мгновенными линейными скоростями и ускорениями,
и движение всей системы /тела/ эквивалентно движению любой её точки. Обычно в качестве точки, моделирующей движе­ние всей системы, выбирается точка С, называемая центром масс системы. Она задаётся радиусом - вектором r _С, определяемым через радиус - векторы r _i материальных точек системы, об­ладающих массами m_i, следующим выражением:

r _С = Sm_i r _i/М, где М = Sm_i - полная масса системы из N точек.

Скорость u _с движения центра масс равна:

u _с = d r _С/dt = d/dt(Sm_id r_i /М) = Sm_i u _i/М = Р _С/М,

где Р _С = Sm_i u _i - полный импульс системы.

Закон изменения скорости центрамасс системы (или уравнение движения центра масс) - естественное обобщение основ­ного уравнения динамики точки на систему частиц, твёрдое тело:

а _с = d u_с /dt = (1/М)×d Р _С/dt = F _{S внеш}/М –

- центр масс механической системы движется как материа­льная точка, масса которой равна массе М системы, под действием результирующей F _{S внеш} внешних сил, приложенных к системе. Эта теорема о движении центра масс показывает, что при поступательном движении твердого тела можно не учитывать его размеры и форму, т.к. все его точки движутся идентично. Если результирующая внешних сил равна нулю: F _{S внеш}=0, то центр масс системы точек движется с постоянной скоростью, сохраняя состояние своего движения, в частном случае – покоя. Внутренние взаимодействия не меняют положения центра масс; это утверждение часто используется при решении задач механики замкнутой системы тел.

 

7. Работа. Мощность. Работа постоянной и переменной силы.

Наряду с векторным подходом к решению основной задачи механики, в физике широко используется и более общий скалярно-энергетический под­ход. В нём в качестве динамической меры движения выступает более уни­версальная величина, не имеющая уже векторного характера, называемая кинетической энергией Е_к.

Если элементарное изменение импульса d Р точечного (твердого) тела определялось действием силы F на вре­менном интервале dt, а именно - импульсом силы F dt, то элементарное
изменение кине­тической энергии dE_к определяется действием силы на пространственном
интервале d r, называемом работой силы dА = F d r.

Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Н×м.

Работа силы - величина скалярная, но алгебраическая, т. е. имеющая знак. Если она ускоряет тело, увеличивает его кинетическую энергию - она положительна. Если же она тормозит тело, то её значение будет отри­цательным; такова работы сил трения, сопротивления. Если при действии силы на тело, его скорость не изменяется по модулю, работа си­лы равна нулю.

Элементарная работа силы dA = F d r = Fdr×cos (F d r) = F×dr_F зависит от угла между силой F и перемещением d r тела. Сила, перпендикулярная перемещению d r (и скорости u = d r /dt) тела, работыне совершает, она изменяет лишь направление скорости, сообщая телу вращательное движение.

Постоянная сила F, действующая под углом a к перемещению тела и его скорости, на прямолинейном пути s совершает работу равную:

А = F×s×cos a.

Нa графике F/x/ работа пропорциональна площади фигуры между кривой F(х) и осью х.

Быстрота совершения работы (быстрота изменения кинетической энергии) называется мощностью N силы и она равна: N = dЕ_к/dt = dА/dt = F d r /dt = Fu = Fu×cos (F^ d r). [Н×м/с = Дж/с = Вт].

Мгновенная мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени при равномерном совершении работы. Средняя же мощность численно равна отношению работы А
ко времени t ее совершения, то есть:

N = А/t Þ А = Nt.

Имеет место аналогия: силы - как быстроты изменения импульса тела F = d Р /dt и мощности N = dЕ_к/dt, как быстроты изменения кинетической энергии. Импульс Р и кинетическая энергия Е_к, являющиеся соответственно векторной и скалярной динамическими мерами движения, также просто взаимосвязаны:

Р = m u; Е_к = mu²/2 = m²u²/2m = Р²/2m. Итак,

Е_к = Р²/2m и Р = Ö2mЕ_к.

 

8. Энергия. Виды механической энергии. Кинетическая энергия. Вывод формулы кинетической энергии.

Энергия – физическая клоичественнная вел-на, характеризующая движение и взаимодействие материй. (яднрная, мех-я, тепл-я, атомная, эл.магнитная)

Потенциальная энергия – мех энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.

Кинетическая энергия – энергия упорядоченного движения тела.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который прошло тело за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела dA=dT. Используя закон Ньютона F =m(d v /dt) и уможая обе части равенства на перемещение d r, получим

F d r =m(d v /dt)d r = dA

Т.к. v =d r /dt то dA=m v d v = mv d v = d T,

откуда T= int(0-v)(mv d v)= mv ²/2

T= mv ²/2

Р = m u; Е_к = mu²/2 = m²u²/2m = Р²/2m.

Итак, Е_к = Р²/2m и Р = Ö2mЕ_к.

 

 

9. Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и потенциальной энергией. Градиент потенциальной энергии. Условие равновесия системы.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории и характера движения при переходе системы из начального состояния в конечное, а определяется только взаимным положением тел системы, называются консервативными.Работа консервативных сил по замкнутой траектории равняется нулю.Все силы, работа которых по замкнутому контуру не равняется нулю, называются неконсервативными.К неконсервативным относятся диссипативные силы. Суммарная работа всех внутренних диссипативных сил системы на любом участке траектории отрицательна в любой произвольно выбранной ИСО. Диссипативными являются силы трения, сопротивления. К диссипативным относятся все силы, которые могут быть представлены в виде:

F = -h(υ)·υ,
где υ - относительная скорость движения тел;
h(υ) - положительный коэффициент, который в общем случае
может зависеть от скорости