Закон сохранения момента импульса замкнутой системы.

Для замкнутой системы, на которую не действуют внешние тела или дей­ствие их взаимно скомпенсировано, из уравнения моментов вытекает: для М_S = 0 (условие замкнутости тела для вращательного движения – результирующий момент внешних сил, действующих на тело, должен быть равен нулю) d L /dt = 0 => L = const. Это равенство и выражает собой закон сохране­ния момента импульса (ЗСМИ) замкнутой системы. Так же, как и рассмотренные ранее законы сохранения других мер движения - импульса и энергии, этот закон является отражением
некоторого свойства симметрии пространства - времени, а именно - изотропии пространства,
т. е. равноправия всех направлений в нем. Этот закон, как и другие законы сохранения, является эффективным средством решения основной задачи механики - расчёта координат /положе­ний/ и скоростей тел. При вращательном движении системы тел внутренние взаимодействия могут перераспределять полный импульс системы между отдельными телами или их частями, не изменяя его суммарного значения.

 

15. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращательном движении.

Кинетическая энергия вращающейся материальной точки может быть запи­сана во "вращательных" характеристиках следующим образом: Е_{к вр} = mu²/2 = m×w²×r²/2 = Jw²/2; Е_{к вр} = Jw²/2

Полученное выражение является общим для кинетической энергии любого тела во вращательном движении. Работа же (момента силы) во вращательном движении представляет
собой величину, равную изменению (приращению) кинетической энергии тела. Покажем, что она определяется скалярным произве­дением векторов момента силы и элементарного углового перемещения: dА_вр = М×dj = (d L /dt)×dj = d L × w = d(J w)×w = d(Jw²/2) = dЕ_{к вр}

Для конечного углового перемещения Dj полная работа определится интегралом:
А₁₂ = ò Мdj = òd(Jw²/2) = Jw₂²/2 - Jw₁²/2 = DЕ_{к вр}

Если движение тела является сложным, включающим в себя и поступательное, и вращательное движения, полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Е_к = Е_{к пост} + Е_{к вр} = mu²/2 + Jw²/2 - теорема Кёнига (в теоретической механике): при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью u_с центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс.

 

16. Сопоставление характеристик и уравнений для поступательного

и вращательного движений.

При анализе вращательного движения твердого тела целесообразно перейти от линейных характеристик, удобных в описании поступательного движения, к специфическим характеристикам вращательного движения (и взаимодействия). В качестве кинематических характеристик таковыми являются угловые характеристики: путь j, скорость w = d j /dt и ускорение e = d w /dt.

Динамические характеристики также пересматриваются, модифицируются при переходе
к изучению вращательного движения. Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

 

17. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение соб-

ственных колебаний. Его решение. Амплитуда, фаза, частота собствен-

ных колебаний. Скорость и ускорение.

Гармо­ническими называют колебания, происходящие по закону гармонической фун­кции, т. е. по закону синуса или косинуса. Система, колеблющаяся по гармоническому закону, называется осциллятором, (гармоническим или линейным). Примером осциллятора может служить

груз на пружине при небольших откло­нениях от положения равновесия, то есть в области справедливости закона Гука, где F_упр ~ ïхï.

Используем силовой подход (второй закон Ньютона) применительно к грузу массой m, движущемуся под действием силы упругости пружины с жесткостью k. Вначале пренебрежём разного рода силами сопротивления, трения. Для простоты рассмотрим колебания груза в горизонтальном направлении, например в трубе без трения: F = mа = mх^¢¢; F_упр = - kх; mх^¢¢ = - kх; Þ х^¢¢ = - (k/m)х или х^¢¢ + w²х= 0 Полученное уравнение: х" + (k/m)х = 0, связывающее вторую производную и саму функцию х - смещение груза от положения равновесия, называется дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний (ДУСГК). Такое название объясняется тем, что его решением является гармоническая функция вида:

х = Аcos(wt + j) = Asin (wt + j + p/2), где w = Ök/m - циклическая частота свободных гармонических колебаний груза на пружине. Рассмотрим основные характеристики гармонических колебаний. Для кон­кретности будем рассматривать чётную гармоническую функцию – косинус: х = А cos(wt + j) = А cos Ф, где:

х - текущее смещение, отклонение груза от положения равновесия

А - амплитуда колебания, представляющая собой максимальное отклонение от положения равновесия

Ф = wt + j - полная фаза колебания, представляющая собой аргумент гармонической функции, изме­ряемый в угловой мере (в радианах) и определяющий как бы угловой путь, пройденный колеблющимся телом. Фаза определяет мгновенное положение /сос­тояние/ колеблющейся системы, осциллятора;

j = Ф (при t = 0) - начальная фаза колебания (фаза в начальный момент времени), определяющая начальное положение, состояние осциллятора в момент t = 0;

w = dФ/dt [рад/с = с^-1] - быстрота изменения полной фазы /состояния/ осциллятора, называемая циклической или угловой частотой.

Гармоническая функция является периодической. За время равное периоду Т совершается один цикл её изменения (одно колебание); соответственно фаза Ф гармони­ческого колебания изменяется на DФ = 2p, т. е. DФ = Ф(t + Т) - Ф(t) = 2p Þ w(t + Т) + j - w t – j = 2p; Þ w = 2p/Т и Т = 2p/w

Обратная периоду величина n = 1/Т [1/с = Гц] – называется частотой колебания. Численно она равна числу колебаний, совершающихся за одну секунду. Проекция радиус-вектора равномерно вращающейся точки по окружности радиуса R на любую прямую, проходящую через её центр, например, на горизонтальную ось х, совершает гармоническое колебательное движение: х = R×cos j; j = wt + j_о; х = R×cos (wt + j_о). Полная фаза Ф гармонического колебания является аналогом углового пути, а циклическая частота w - угловой скорости (w = u/R) равномерно вращающейся точки.

 

 

18. Гармонический осциллятор. Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонического осциллятора. Вероятность местонахождения гармонического осциллятора.

Так как сила упругости - консервативная, то полная механическая энергия Е = Е_к + Е_п груза, колеблющегося на пружине, должна, в соответствии с законом сохранения механической энергии, оставаться в процессе колебаний неизменной

Е_п = kх²/2 = (kА²/2) cos²(wt + j_о= Е_{п макс} cos²(wt + j_о), где Е_{п макс} = kА²/2.

Е_к = mu²/2; u = dх/dt = - А×w sin (wt + j_о) = wА cos (wt + j_о + p/2).

Скорость при гармонических колебаниях опережает на 90° по начальной фазе смещение х.

Е_к = (m×w²А²/2) sin²(wt + j_о) = Е_{к макс} sin²(wt + j_о), где Е_{к макс} = m×w²А²/2.

Так как w² = k/m, то Е_{к макс} = mw²А²/2 = kА²/2 = Е_{п макс}

Полная же энергия гармонических колебаний груза на пружине:

Е = Е_к + Е_п = (kА²/2)×[cos² (wt + j_о)+ sin²(wt + j_о)] = kА²/2 = Е_{п макс} = Е_{к макс}.

Так как cos² a = (1 + cos 2a)/2, a sin² a = (1 - cos 2a)/2, то кинетическая и потенциальная энергии изменяются по гармоническому за­кону, но с удвоенной, по сравнению со смещением х, частотой и со сдвигом начальных фаз в 180° друг относительно друга, так, что их сумма остается неизменной.

Покажем, как энергетический подход позволяет получить ДУСГК:

Из закона сохранения механической энергии в дифференциальной форме следует:
d(Е_к + Е_п) = 0; d[m(х_t^¢)²/2 + kх²/2] = 0; m×х_t^¢¢ + kх = 0 Þ х_t^¢¢ + w²х = 0, где w² = k/m.

Приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, сразу можно получить выражение для угловой частоты w и периода

Т = 2p/w свободных гармонических колебаний груза на пружине:

mw²А²/2 = kА²/2 Þw = Ök/m; Т = 2pÖm/k

 

19. Физический и математический маятники. Уравнение движения маятника. Период колебаний. Приведенная длина физического маятника.

Маятником называют колебательную систему, совершающую колебания вокруг оси под действием момента силы тяжести, которая играет роль упругой /возвращающей/ силы. Маятником может служить любое тело, подвешенное в точке, не совпадающей с центром тяжести /центром масс/ тела.

Рассмотрим общий случай маятника, называемого физическим, а из най­денных для него формул получим соответствующие выражения для частного случая маятника, называемого математическим. Обозначим: О – точка подвеса, С – центр тяжести.

При отклонении маятника от положения равно­весия на угол j, возникает возвращающий мо­мент силы тяжести: М = - mgl×sin j.Маятник, его точки, будут совершать колебания по криволинейной траектории – дуге окружности вокруг оси качания. Поэтому в силовом подходе для анализа движения физического маятника используем основной закон /уравнение/ динамики вра­щательного движения твёрдого тела: М = Je = J×d²j/dt² = - mgl sin j,

где J - момент инерции маятника относительно оси качания. Для малых амплитуд колебаний:

sin j » j и J×d²j/dt² » - mgl j Þ

d²j/dt² + mglj/J = 0 или: d²j/dt² + w²j = 0

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника,

где циклическая частота w свободных колебаний физического маятника: w = Ö(mgl/J)

Решение полученного уравнения для малого углового отклонения точек маятника
от положения равновесия имеет стандартный вид гармонической функции: j = А×cos (wt + j_о). Угол отклонения изменяется со временем по гармоническому закону с циклической частотой
и периодом Т = 2p/w = 2pÖ(J/mgl). Для математического маятника, представляющего собой материальную точку, подвешенную на длинной, неве­сомой и нерастяжимой нити, момент инерции J = ml², где l - длина нити. Подставляя это выражение для момента инерции математического маятника в общее выражение для периода свободных колебаний, получаем: Т = 2pÖ(l/g). С ростом длины нити растёт возвращающий момент силы тяжести: М » mglj, но ещё быстрее растёт момент инерции маятника J = ml². В итоге, доминирует замедление колебаний, возрастание времени цикла, т. е. Возрастание периода Т колебаний. С ростом g (например, на более тяжёлой планете, чем Земля) растёт возвращающий момент силы тяжести mg, убыстряющий движение маятника и уменьшающий его период. Период Т гармонических колебаний не зависит от их амплитуды (свойство изохронно­сти). Это можно пояснить тем, что, с одной стороны, с ростом амплитуды возрастает проходи­мый осциллятором путь (линейный у груза на пружине и угловой - у маятников), но, с другой стороны, возрастает возвращающий момент, ускоряющий движение маятника и компенсирую­щий (при небольших амплитудах колебаний) возрастание амплитуды, пути. Период Т свободных гармонических колебаний маятника не зависит и от его массы, которая является одновременно и мерой инертности, и мерой гравитации (силы тяжести).

Если для физического маятника ввести такую характеристику, как приведённая длина: l_пр = J/ml, можно унифицировать формулы для периодов колебаний физического и математического маятников. Период колебаний физического маятника запишется в виде: Т = 2pÖ(l_пр/g)

- подобно формуле для периода математического маятника.

Приведённая длина физического маятника чис­ленно равна длине такого математического маятника, период которого равен периоду физического ма­ятника. Эта формула лежит, например, в основе метода определе­ния ускорения свободного падения с помощью оборот­ного маятника. Разделённые расстоя­нием l_пр, точка под­веса О и центр качания О^¢, являются взаимными, т. е. период Т колебаний маятника один и тот же, в слу­чаях подвеса маятника в точке О и точ­ке О^¢. Определяя, опытным путём l_пр и Т, рассчитывают g = 4p²l_пр/Т².

 

20. Формула Эйлера. Запись гармонических колебаний в комплексной форме

Для представления гармонических колебаний в комплексной форме воспользуемся формулой Эйлера e^iα = cos α +i·sin α, где i = (-1)^1/2 - мнимая единица. Изобразим произвольное комплексное число z^~ = x + i·y на плоскости XY. В декартовой системе координат действительную часть комплексного числа x обычно откладывают по оси абсцисс, а мнимую y - по оси ординат (см. рис. 11.6). Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде вектора A на комплексной плоскости, проведенного из начала координат в точку с координатами {x, y}. Исходя из формулы Эйлера и представления z^~ в виде суммы действительной и мнимой составляющих, любое комплексное число можно записать в экспоненциальной форме: z^~ = A·e^iα
где A = (x² + y²)^1/2 - модуль комплексного числа;
tg α = y/x - фаза комплексного числа.

21. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, время релаксации, коэффициент затухания, декремент.

Проведём физико-математический анализ собственных (затухающих) колебаний применительно к грузу на пружине. Используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона. Силу сопротивления зададим в виде: F _cопр= - r u, где r - коэффициент сопротивления вязкой среды. Запишем второй закон Ньютона для груза массой m, колеблющегося в вязкой среде на пружине с жесткостью k: m а = F_S; F _S = F _упр + F _сопр = - k х – r u, или для одномерного случая: mx" = - kх – rх' = Þ х" + 2×(r/2m)х' + (k/m)х = 0 Þ х" + 2bх^¢ + w_о²х = 0 Полученное дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний (ДУСГК) наличием члена, содержащего первую производную х' от смещения х и отражающего собой действие силы сопротивления. Под b = r/2m обозначен коэффициент затухания - от­ношение мер сопротивления и инертности. За w_о = Ö(k/m) обозначена частота свободных колебаний, т. е. в отсутствии сопротивления, при r = 0.

Для решения полученного дифференциального уравнения затухающих колеба­ний сведём его путём замены переменной х = z×е^–bt к уравнению свободных гармонических колебаний.
Выразим первую и вторую производные х и под­ставим их в ДУЗК:

х' = d/dt(z×е^–bt) = z^¢е^-bt - bz^¢e^-bt; х" = z ^¢¢ e^{-b t} + b²ze^-bt - bz^¢e^-bt - bz^¢e^-bt = z ^¢¢ e^-bt - 2bz^¢e^-bt + b²ze^-мt;

(z ^¢¢ - 2bz^¢ + b²z + 2bz^¢ - 2b²z + w_о²z)e^-bt = 0 Þ z ^¢¢ + (w_о² – b²)z = 0 или: z ^¢¢ + w²z = 0,
где w² = w_о² - b².

В новой переменной z дифференциальное уравнение затухающих колебаний свелось
к известному дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (ДУСГК), решение которого имеет стандартный вид гармонической функции z = А_оcos(wt + j).

Осуществляя обратный переход к исходной переменной х, получим:

х = z×е^–dt = А_оe^-dtcos (wt + j) = Аcos (wt + j) - уравнение затухающих колебаний, где А = A_оe^-dt - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону.
Коэффициент затухания d определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.

Помимо убывания амплитуды колебаний, сопротивление среды приводит к понижению циклической частоты w затухающих колебаний w = Ö(w_о² – d²) в сравнении с частотой w_о свободных колебаний. Это можно объяснить тем, что сила сопротивления, будучи направленной против скорости (перемещения) груза, замедляет его движение, увеличивая дли­тельность цикла (период), уменьшая частоту w.

При достаточно большом затухании (удельном сопротивлении d = r/2m) b ³ w_о колебательный характер процесса возвращения к положению равновесия системы, выведенной из него, исчезает, превращаясь в монотонно убывающий процесс, называемый апериодическим. В этом случае трение, диссипация преобладают над упругостью. Такой режим реализуется, например, для движения рамки электроизмерительных приборов.

Коэффициент затухания d может быть осмыслен через обратную ему величи­ну - время
релаксации t = 1/d, за которое, как нетрудно видеть, амплитуда колебаний убывает в е = 2,72 раз. Действительно, за время t = t = 1/d, A = A_о×e^-dt = A_о×e^-d×1/d = A_о×e^-1 = A_о/e.

Коэффициент d недостаточно полно характеризует быстроту затухания ко­лебаний, ибо
из него неясно, сколько периодов колебаний (естественных масштабов времени) совершается
за время релаксации. Коэффициент затухания d характеризует быстроту спадания лишь огибающей колебаний. Поэтому вводят такую харак­теристику затухания колебаний, как декремент затухания D, равный отношению значений двух соседних амплитуд (амплитуд, разделённых периодом):

D = А(t)/А(t + Т) = A_о×e^-dt/A_о×e^{-d(t + Т)} = e^-dt/e^-dt e^-dТ = e^dТ - изменение амплитуды за время, равное периоду Т.

На практике удобнее пользоваться логарифмическим декрементом q (или l) затухания колебаний: q = ln D = ln [А(t)/А(t + Т)] = ln e^dТ = dТ; q = dТ = T/t. Его наглядный смысл может быть представлен через величину N_е - число колебаний,
совершающихся за время релаксации t, обратным которому и яв­ляется q: q = T/t = 1/(t/Т) = 1/N_е, где N_е = t/Т.

Затухание колебаний фактически приводит к нарушению не только гармо­нического характера, но и периодического, ибо нет строгой повторяемости значений изменяющихся величин по причине их убывания. Отсюда следует, что периодические и гармонические колебания возникают при условии малого затухания (малого сопротивления среды, малой диссипации механической энергии колебаний).

22. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы и его решение. Период и амплитуда вынужденных колебаний. Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.

Для получения незатухающих колебаний необходимо обеспечить компенсацию потерь энергии колебаний с помощью какого - либо внешнего источника. Рассмотрим процесс осуществления незатухающих колебаний при воздействии на реальную колебательную систему внешнего источника гармонической силы

F _вн = F _мcos wt. Как и ранее, используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона m а = F _S. Результирующая сила F _S действующая на груз массой m, включает в себя:

F _S = F _упр + F _сопр + F _вн = - k х – r u + F _мcos wt

Рассматриваем одномерный случай, проектируя векторное равенство 2 - го за­кона Ньютона на некоторую ось х: mx" = - kх – rх' + F_мcos wt Þ х" + 2(r/2m)х' + (k/m)х = F_мcos wt Þ х" + 2dх^¢ + w_о²х = (F_м/m) cos wt

Получили дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колеба­ний (ДУВГК), где: r, d = r /2m и w_о = Ö(k/m), как и раньше - коэффициент сопротивления, коэффициент затухания и циклическая частота свободных колебаний груза на пружине, соответственно.

Полученное уравнение является неоднородным, то есть - с не нулевой правой частью,
независящей от переменной х и навязывающей ей определённый, а именно - гармонический
характер изменения. Решение неоднородного дифференциального уравнения представляется суммой решений соответствующего однородного уравнения (с искусственно полагаемой нулю правой частью) и частного решения неоднородного уравнения.

Решения: х = А×cos (wt – j); А = F_м/mÖ[(w_о² - w²)² + 4d²w²]; tg j = 2dw/(w_о² - w²).

Амплитуда и частота вынужденных колебаний оказываются частотно-зависи­мыми, зависящими от частоты w, т. е. от быстроты изменения вынуждающей силы и соотношения её с частотой w_о свободных колебаний груза на пружине.

Зависимость j(w), называемая фазочастотной характеристикой колеба­тельной системы

23. Вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний. Резонанс.

Амплитуда А вынуж­денных колебаний, как пока­зывает анализ полученного для нее выражения, зависит от час­тоты вынуждающей силы и коэффициента зату­хания. Графически характер зави­симости А(w) для разных значений коэффициента затухания представлен на чертеже.