Теоретические сведения ко второму заданию

Задание рассчитано на исследование движения механической системы путем использования общих теорем динамики.

(2.1)

Первый пункт задания заключается в определении скорости тела 1 после прихода системы в заданное положение из состояния покоя путем использования теоремы об изменении кинетической энергии:

T-T ₀ = + ,

где T – кинетическая энергия механической системы в конечном положении (в конечный момент времени); T ₀– кинетическая энергия механической системы в начальном положении (в начальный момент времени); сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении ее из начального положения в конечное; сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении (при выбранных условиях во всех вариантах задания она равна нулю).

Кинетическую энергию Т механической системы в любой момент времени следует представить как сумму кинетических энергий входящих в нее твердых тел. При этом для поступательно движущихся тел

(2.2)

Т_n = m 𝑣²,

(2.3)

для вращающихся тел вокруг неподвижных осей

Т_B = J_x 𝜔²,

(2.4)

для совершающих плоскопараллельное движение тел

Т_nn = m + J_cx 𝜔²,

где m -масса тела; 𝑣 – скорость любой точки поступательно движущегося тела в рассматриваемый момент времени; J_x – момент инерции тела относительно оси вращения; 𝜔 – мгновенная угловая скорость вращения тела; 𝑣_с – скорость центра масс тела в рассматриваемый момент времени; J_cx – момент инерции тела относительно оси Х, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости движения.

В заданиях сумма работ внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное будет складываться:

(2.5)

а) из работ сил тяжести тел

А_G = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h- высота, на которую опускается или поднимается центр масс тела в поле силы тяжести (знак «+» выбирается, если тело опускается вниз, знак «-» - в противном случае);

б) из работ сил трения скольжения

(2.6)

A_F =- F _mp S =- fN ₁ S,

где f –коэффициент трения скольжения тела; N₁ –модуль реакции трущихся тел; S – путь, пройденный телом при скольжении;

(2.7)

в) из работ сил сопротивления качению катков

A_M = - M_c𝜑,

где M_c =δ N – момент сил сопротивления качению катка; δ – коэффициент трения качения катка; N – модуль нормальной реакции поверхности качения; 𝜑 – угол поворота катка при качении.

Подставляя найденные выражения кинетической энергии системы и суммы работ внешних сил в выражение (2.1), можно получить уравнение для определения скорости тела 1 в системе.

(2.8)

Выполнение второго пункта задания основано на применении общего уравнения динамики:

δ + δ = 0,

где δ – сумма элементарных работ всех действующих активных сил на любом возможном перемещении системы; δ – сумма элементарных работ всех сил инерции на любом возможном перемещении системы.

При этом действующие активные силы тяжести и силы реакции внешних связей определяются исходя из масс тел, представленных в задании.

(2.9)

Силы инерции тела, движущегося поступательно с ускорением , приводятся к равнодействующей

^u = - m ,

приложенной к центру масс его и направленной противоположно направлению движения.

(2.10)

Силы инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ℇ, приводятся к паре сил, момент которой

^u = - J_xℇ,

где J_x – момент инерции относительно оси вращения.

Силы инерции тела, совершающего плоскопараллельное движение, приводятся к вектору

(2.11)

^u = - m _c

(2.12)

и к паре сил, момент которой

^u = - J_с ε,

где _c – ускорение центра масс тела; ℇ – угловое ускорение тела; J_с – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения.

Рассматриваемые в заданиях механические системы представляют собой совокупность твердых тел, поэтому для составления уравнения (2.8) нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить силы инерции и моменты пар сил инерции, а затем применить принцип возможных перемещений.

(2.14)

При этом элементарные работы активных сил и сил инерции на возможном перемещении δS_k соответственно равны:

δ = δS_k ,

δ = - δS_k

(здесь - угол между направлениями сил и перемещения).

(2.15)

Элементарные работы активных моментов и моментов пар сил инерции соответственно можно подсчитать по выражениям:

δ = δ𝜑_k,

δ = δ𝜑_k,

где δ𝜑_k – возможный угол поворота тела.

(2.16)

Далее, с учетом выражений (2.14) и (2.15) представляется общее уравнение динамики (2.8) в развернутом виде:

δS_{k k} + δ𝜑_k - δS_k - δ𝜑_k = 0.

Установив зависимости между δS_k и δ𝜑_k и выразив эти величины через какую-нибудь одну, можно существенно упростить выражение (2.16) и подготовить его к выполнению второго пункта задания.

Для выполнения третьего пункта задания следует воспользоваться принципом Даламбера, заключающимся в том, что при движении механической системы геометрическая сумма внешних, внутренних сил и сил инерции равна нулю для каждой точки механической системы.

При этом желательно придерживаться следующего порядка:

- изобразить на рисунке каждое тело системы в отдельности, приложить к ним силы тяжести, реакции внешних и внутренних связей и силы инерции;

- используя найденные в предыдущем пункте ускорения, вычислить модули сил инерции и величины моментов сил инерции каждого из нарисованных тел;

- составить уравнения кинетостатики для каждого тела.

В результате получается замкнутая система уравнений, решение которой позволяет определить составляющие реакций внешних и внутренних связей.

Заметим, в вариантах 15,16,19,27-29 для того, чтобы система уравнений стала замкнутой, необходимо дополнительно задать горизонтальную составляющую реакции оси вращения третьего тела N _{3 x}. Будем предполагать, что N _{3 x} =3 mg.

Четвертый пункт задания выполняется с помощью уравнений Лагранжа второго рода.

(2.17)

Так как система имеет одну степень свободы, то для нее выбирается только одна обобщенная координата, в качестве которой рекомендуется принять перемещение первого тела, то есть S = q. Тогда уравнение Лагранжа второго рода будет иметь вид:

()- = Q,

где Т - кинетическая энергия механической системы; Q – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q.

Выражение кинетической энергии было найдено в первом пункте данного задания, поэтому достаточно ее переписать, заменив 𝑣 ₁ на .

Обобщенную силу Q следует определять как величину, равную коэффициенту при приращении обобщенной координаты в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Для этого необходимо:

- изобразить на рисунке активные силы ;

- обобщенной координате q дать возможное перемещение δ_q;

- найти сумму работ нарисованных сил на данном возможном перемещении системы;

- выделить в выражении полной элементарной работы коэффициент при приращении обобщенной координаты.

Далее заметим, что задания составлены таким образом, что частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате ∂Т / ∂q во всех вариантах равна нулю.

Вычислив частную производную ∂Т / ∂ , затем – полную d(∂Т / ∂ )/ dt производную по времени и подставив найденный результат вместе с обобщенной силой в уравнение (2.17), следует получить зависимость = = f ₁ (t), а после интегрирования - и S = f ₃ (t). Полученные зависимости необходимо изобразить графически в пределах 0< S< S ₁.