Дифференциальные уравнения длинной линии
Двухпроводная длинная линия
ZН = RН + iXН — комплексное сопротивление нагрузки;
z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.
Основная статья: Телеграфное уравнение
Погонные параметры
Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована ее погонными параметрами:
- R 1 — погонное сопротивление, Ом/м;
- G 1 — погонная проводимость, 1/Ом·м;
- L 1 — погонная индуктивность Гн/м;
- C 1 — погонная ёмкость Ф/м;
-
-
Погонные сопротивление R 1 и проводимость G 1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Согласно закону Джоуля — Ленца, чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше R 1 и меньше G 1. (Уменьшение активных потерь в диэлектрике означает увеличение его сопротивления, так как активные потери в диэлектрике — это токи утечки. Для модели используется обратная величина — погонная проводимость G 1.)
Погонные индуктивность L 1 и емкость C 1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.
А 
и 
— погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, зависящие от частоты 
.
Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему.
Эквивалентная схема участка длинной линии
Эквивалентная схема участка длинной линии. Стрелками обозначены направления отсчета напряжения U и тока I в линии; dU и dI — приращения напряжения и тока в линии на элементе длины dz
Значения параметров схемы определяются соотношениями:
| (1) |
Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:
Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:
Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии. Эти уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии и называются телеграфными уравнениями длинной линии:
Телеграфные уравнения
| (2) |
Следствия
Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:
| (3) |
При этом учтем условие регулярности линии:
Условие регулярности линии
| (4) |
Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии ее погонных параметров.
Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:
Однородные волновые уравнения длинной линии
 ,
| (5) |
где γ — коэффициент распространения волны в линии: 
.
Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:
 ,
| (6) |
где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.
Решения волновых уравнений в виде (6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемое — отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:
Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1).Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:
 ,
| (7) |
Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:
 ,
| (8) |
где α — коэффициент затухания волны[2] в линии; β — коэффициент фазы[3]. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:
 .
| (9) |
Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2 π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением
 .
| (10) |
При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:
 .
| (11) |
Определим коэффициенты A и B, входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:
Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:
 ,
| (12) |
где 
— волновое сопротивление линии[4].
Перепишем (6) с учетом (12):
 .
| (13) |
Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в конце линии z = 0:
.
Тогда из (13) при z = 0 найдем
 ,
| (14) |
Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:
 .
| (15) |
При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса[5].
Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.
Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует[6]. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:
.