1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
№ 1. Вычислить пределы:
1)
2)
3)
№ 2. Найти производную функции:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) |
№ 3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .
№ 4. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
2. Интегральное исчисление функций одной переменной
№ 1. Найти неопределенные интегралы.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) |
№ 2. Вычислить определенные интегралы:
1) 2) .
№ 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , . Сделать чертеж.
3. Дифференциальные уравнения
№ 1. Решить дифференциальные уравнения:
1) | 2) |
№ 2. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения.
1) | 2) |
№ 3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1) | 2) |
№ 4. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка.
1) | 2) |
5. Элементы теории вероятностей
№ 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков.
№ 2. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
№ 3. Брошены одновременно две монеты. Какова вероятность появления герба («орла») на одной из них?
№ 4. Из карточек составлено слово ПОБЕДА. Буквы перемешаны. Найти вероятность того, что две наугад выбранные буквы ― гласные.
№ 5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.
№ 6. В ящике находятся 20 деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу извлекают 4 детали. Найти вероятность того, что две из них окрашены.
№ 7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,9; второго – 0,6. Найти вероятность того, что оба стрелка попали в цель.
№ 8. В первом ящике 23 детали, из них 4 бракованные, а во втором ящике 1 9деталей, из которых 6 бракованные. Из каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что:
1) обе детали бракованные;
2) только одна бракованная.
№ 9. Производится четыре независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны . Найти вероятность того, что при этом будет ровно три попадания.
№ 10. Вероятность рождения бычка при отеле коровы 0,5. Найти вероятность того, что от 6коров будет ровно 2 бычка.
№ 11. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно три изделия.
№ 12. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна . Найти вероятность того, что событие А появится не менее 75 раз и не более 90 раз.
№ 13. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 изделий. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей.
№ 14. Дан ряд распределения дискретной случайной величины.
x i | |||
p i | 0,5 | 0,3 | p 1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
№ 15. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения
Найти: а) дифференциальную функцию распределения ;
б) математическое ожидание случайной величины X;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал .
Построить графики функций и .
№ 16. Предполагается, что количество баллов, набранное сотрудником фирмы при профессиональном тестировании ― случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием баллов и средним квадратическим отклонением баллов.
Определите вероятность того, что
а) случайно выбранный сотрудник получит результат не менее 600 и не более 950 баллов;
б) количество баллов случайно выбранного сотрудника отклонится от математического ожидания меньше чем на 30 баллов.
Найдите границы, в которых отклонение количества баллов от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.
6. Элементы математической статистики
№1. По данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке — соответствующие частоты количественного признака X.
Найдите выборочную среднюю.
№ 2. Данные об оценках группы студентов по дисциплине «Математика» выбрали случайным образом из ведомости и получили следующий ряд оценок: 5, 4, 3, 4, 5, 3, 4, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 4. Данные сгруппировали и получили следующий вариационный ряд:
Оценка | ||||
Количество студентов |
Постройте полигон распределения частостей. Определите моду и медиану данного распределения.