Достаточное условие существования тройного интеграла

Замена переменных в тройном интеграле (общий случай).

Замена переменных в тройном интеграле.

16.2.5.1. Теорема о за мена переменных в тройном интеграле. Пусть в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями. Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V;2). Функции x (u,v,w), y (u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан не обращается в нуль на G. Тогда.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о замене переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим наиболее часто употребляемые криволинейные системы координат в пространстве - цилиндрические и сферические.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах

• Тройные интегралы в цилиндрических координатах
• Тройные интегралы в сферических координатах

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Пусть задана область V Ì XOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V и на ее границе задана функция f (x, y, z).

Тройным интегралом от функции f(x, y, z ) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;
P_i (x_i, y_i, z_i) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

i = 1,..., n;

— ранг разбиения;
– диаметр i -ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла

Если функция f (x, y, z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

Цилиндрические координаты точки в пространствеXOYZ — это ее полярные координаты в плоскости XOY и координата z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства: или

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:

объем V, правильный в направлении оси OZ, проектируется в область и записывается системой неравенств:

;

далее область записывается неравенствами в полярной системе координат (Рис. 7) и составляется бесконечно малый элемент плоской области в полярных координатах:

, ;

в подынтегральной функции и в пределах интегрирования по z делается переход к переменным и :

Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:

(2)

Таким образом, бесконечно

Пример 2 (вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах):

Вычислить , если область V ограничена поверхностями

.

Решение

Строим область V и записываем её системой неравенств в цилиндрических

координатах:

Теперь сводим тройной интеграл к трехкратному в соответствии с системой неравенств и вычисляем его: .     142.Тройной интеграл в сферических координатах. Сферические координаты точки М пространства XOYZ определяются следующим образом (Рис. 8): r — расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки); r называют сферическим радиусом точки; q — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;   j — угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол). Границы изменения сферических координат для всех точек пространства: или ,   Связь сферических и декартовых координат (выводится геометрически):     Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид: , I — это функциональный определитель Якоби третьего порядка:   , так как поэтому . Таким образом, .   Бесконечно малый элемент объема в сферических координатах имеет вид: ; формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид: (3)   Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах. Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.     Пример 3 (вычисление тройного интеграла в сферических координатах):   Вычислить , где Решение Область представляет собой верхнюю половину шара радиуса 2 с центром в начале координат. Запишем неравенствами область V в сферических координатах:   Переводим данный тройной интеграл в сферические координаты по формуле (3) и сводим его к трехкратному интегралу в соответствии с системой неравенств:   143.Моменты инерции тела V с плотностью r(x, y, z) относительно осей координат и относительно начала координат.   МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела mi, на квадраты их расстояний ri до точки, оси или плоскости: Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси. Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r: