Построение степенной модели.

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Эконометрика»

Вариант № 3

Исполнитель: Глушакова Т.И.

Специальность: Финансы и кредит

Курс: 3

Группа: 6

№ зачетной книжки: 07ффд41853

Руководитель: Денисов В.П.

г. Омск 2009г.

Задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

- уравнение линейной регрессии, где - параметры уравнения.

, где , - средние значения признаков.

, где n – число наблюдений.

Представим вычисления в таблице 1:

Таблица 1. Промежуточные расчеты.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi










средн. знач.	35,5	59,4
	2108,7
	1260,25


n
	1,319
	12,573

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Вычислим прогнозное значение Y по формуле:

Остатки вычисляются по формуле:

Представим промежуточные вычисления в таблице 2.

Таблица 2. Вычисление остатков.


62,695	6,305	39,75303
49,505	2,495	6,225025
48,186	-2,186	4,778596
61,376	1,624	2,637376
73,247	-0,247	0,061009
48,186	-0,186	0,034596
66,652	0,348	0,121104
64,014	-2,014	4,056196
49,505	-2,505	6,275025
70,609	-3,609	13,02488

Дисперсия остатков вычисляется по формуле:

Построим график остатков с помощью MS Excel.

Рис. 1. График остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:

Данные для расчета возьмем из таблицы 2.

dw = 0,803

Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.

- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.

- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.

Вычисления представим в таблицах 3 и 4.

Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
						-1

					49,5	-2,5	6,25
					49,5	2,5	6,25
средн. знач.	27,5	48,25
	1326,875
	756,25
	5310,00
	3026,00
n
	2,5
	- 20,5
	14,5

Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
					63,789	-0,789	0,623
					64,582	4,418	19,519
					65,375	-3,375	11,391
					66,961	0,039	0,002
					69,340	-2,340	5,476
					70,926	2,074	4,301
средн. знач.	40,833	66,833
	2729,028
	1667,361


n
	0,793
	34,448
	41,310

= = 2,849

где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.

Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( - число наблюдений в первой группе, m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

, , m=1.

Если > , то имеет место гетероскедастичность.

= 5,41

< ,

значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .

Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:

=35,5

Промежуточные расчеты представим в таблице:

Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия

xi
	6,25
	56,25
	72,25
	2,25
	110,25
	72,25
	30,25
	12,25
	56,25
	72,25

=490,50

для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8

Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

Из расчетов нам известно, что

; .

Рассчитаем :

Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.


	9,6	92,16
	-7,4	54,76
	-13,4	179,56
	3,6	12,96
	13,6	184,96
	-11,4	129,96
	7,6	57,76
	2,6	6,76
	-12,4	153,76
	7,6	57,76

=930,4

=0,917.

Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.

Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. > .

Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:

Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.

yi
	6,305	0,091377
	2,495	0,047981
	-2,186	0,047522
	1,624	0,025778
	-0,247	0,003384
	-0,186	0,003875
	0,348	0,005194
	-2,014	0,032484
	-2,505	0,053298
	-3,609	0,053866

значит модель имеет хорошее качество.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем стандартную ошибку прогноза

где

=930,4;

, для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8

Доверительный интервал прогноза:

Таким образом, =61,112, будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.

Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Построение степенной модели.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим .

Тогда уравнение примет вид – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:

Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.

t	xi	X	Y	YX	X*X
		1,5798	1,839	2,905	2,496	62,347	6,653	9,642	44,26
		1,447	1,716	2,483	2,094	50,478	1,522	2,926	2,315
		1,431	1,663	2,379	2,048	49,225	-3,225	7,010	10,399
		1,568	1,799	2,821	2,459	61,208	1,792	2,845	3,212
		1,663	1,863	3,098	2,765	71,153	1,847	2,530	3,411
		1,431	1,681	2,406	2,049	49,225	-1,225	2,552	1,5
		1,613	1,826	2,945	2,601	65,771	1,289	1,924	1,66
		1,591	1,793	2,853	2,531	63,477	-1,477	2,382	2,182
		1,447	1,672	2,419	2,094	50,478	-3,478	7,4	12,099
		1,644	1,826	3,001	2,701	68,999	-1,999	2,984	3,997