Связь групповой и фазовой скорости.





Лекция 5: Механические волны

 

План:

 

1. Длина волны и волновое число.

2. Вывод уравнения плоской бегущей волны.

3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

4. Разность фаз колебаний.

5. Виды волн.

6. Фазовая и скорость.

7. Групповая скорость.

8. Связь фазовой и групповой скорости.

9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.

10. Уравнение сферической волны.

11. Вывод уравнения стоячей волны.

12. Координаты узлов и пучностей.

13. Энергия волн.

________________________________________________________________

 

Длина волны и волновое число

 

Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:

 

(1)

 

(2)

 

Если период равен , (3)

то (4)

 

Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:

получим (5)

 

Или (6)

Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в единицах длины. Отношение обозначается и называется волновым числом, т.е.

(7)

 

 

Например:

 

 

Вывод уравнения плоской бегущей волны

 

Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию.

Плоские волны – волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Лучи в этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.

 

Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:

Пусть источник колебаний в начальный момент времени находится в точке О.

Запишем уравнение колебания:

 

(8)

Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время , затраченное на этот путь равно , где - это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.

Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:

(9)

(10)

Т.к. за время волна распространилась на расстояние , тогда

(11)

(12)

 

(13)

Будем считать начальную фазу .

Тогда согласно уравнению (6), получаем: (14)

Если в уравнении (14) , а , то получим четвертый вид уравнения плоской бегущей волны (при ):

 

      - первый вид уравненияплоской бегущей волны
      - второй вид уравненияплоской бегущей волны
      - третий вид уравненияплоской бегущей волны
      - четвертый вид уравненияплоской бегущей волны

- смещение точек среды с координатой x в момент времени t.

Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

 

Уравнение плоской бегущей волны можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:

 

(15)

Если , то

 

(16)

 

Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:

 

, (17)

Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:

 

(18)

 

        - уравнения плоскойбегущей волны в комплексном виде  

 

Разность фаз колебаний

 

Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:

 

(19)

(20)

(21)

Виды волн

 

Основное свойство всех волн – перенос частицами среды энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные волны.

 

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.

 

 

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.

Продольные волны распространяются в жидкостях и газах

В твердой среде возникают как продольные, так и поперечные

 

 

Фазовая скорость

 

Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.

 

(22)

(23)

 

После дифференцирования, получим:

 

(24)

или (25)

 

Вывод: скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью и обозначают: :

 

Т.к. , отсюда (26)

 

 

Дисперсией называется зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн (дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой)

 

 

Групповая скорость

 

 

Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и близкими волновыми числами :

 

(27)

Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.

 

(28)

 

 

    - амплитуда группы волн  

 

Групповая скорость– скорость распространения группы волн,

 

Групповая скорость– скорость максимума огибающей группы волн или скорость движения центра волнового пакета.

 

Из условия (29)

получим: (30)

(31)

 

      - групповая скорость  

 

Связь групповой и фазовой скорости.

 

 

Групповая скорость определяется выражением:

(32)

Определим отдельно выражения для и :

 

1) - ?

Из выражения выразим угловую скорость: (33)

Продифференцируем это выражение по k: (34)

2) - ?

Выражения продифференцируем по :

или (35)

Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:

 

(36)

(37)

 

(38)

 

 

      - связь фазовой и групповой скорости  

 

Из (38) следует, что может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака .

Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то , тогда фазовая и групповая скорости совпадают .

 

Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.

Но , а для ограничений нет.

 

 

9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста

 

Зависимость групповой скорости от длины волны позволяет определить значение групповой скорости.

Для этого нужно провести касательную к точке с координатами и . Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.

 





Читайте также:
Перечень документов по охране труда. Сроки хранения: Итак, перечень документов по охране труда выглядит следующим образом...
Основные этапы развития астрономии. Гипотеза Лапласа: С точки зрения гипотезы Лапласа, это совершенно непонятно...
Социальные науки, их классификация: Общество настолько сложный объект, что...
Роль химии в жизни человека: Химия как компонент культуры наполняет содержанием ряд фундаментальных представлений о...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.024 с.