Лекция 5: Механические волны
План:
1. Длина волны и волновое число.
2. Вывод уравнения плоской бегущей волны.
3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.
4. Разность фаз колебаний.
5. Виды волн.
6. Фазовая и скорость.
7. Групповая скорость.
8. Связь фазовой и групповой скорости.
9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.
10. Уравнение сферической волны.
11. Вывод уравнения стоячей волны.
12. Координаты узлов и пучностей.
13. Энергия волн.
________________________________________________________________
Длина волны и волновое число
Длиной волны 
– называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:
(1)
(2)
Если период равен 
, (3)
то 
(4)
Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:
получим 
(5)
Или 
(6)
Физический смысл отношения 
заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в 
единицах длины. Отношение обозначается 
и называется волновым числом, т.е.
(7)
Например:
Вывод уравнения плоской бегущей волны
Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию.
Плоские волны – волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.
Лучи в этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.
Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:
Пусть источник колебаний в начальный момент времени 
находится в точке О.
|
|
Запишем уравнение колебания:
(8)
Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время 
, затраченное на этот путь равно 
, где 
- это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.
Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:
(9)
(10)
Т.к. за время 
волна распространилась на расстояние 
, тогда
(11)
(12)
(13)
Будем считать начальную фазу 
.
Тогда согласно уравнению (6), получаем: 
(14)
Если в уравнении (14) 
, а 
, то получим четвертый вид уравнения плоской бегущей волны (при ):
| - первый вид уравнения плоской бегущей волны |
| - второй вид уравнения плоской бегущей волны |
| - третий вид уравнения плоской бегущей волны |
| - четвертый вид уравнения плоской бегущей волны |
- смещение точек среды с координатой x в момент времени t.
Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.
Уравнение плоской бегущей волны 
можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:
(15)
Если 
, то
(16)
Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:
, (17)
Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:
(18)
|
| - уравнения плоской бегущей волны в комплексном виде |
Разность фаз колебаний
Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:
(19)
(20)
(21)
Виды волн
Основное свойство всех волн – перенос частицами среды энергии без переноса вещества.
Различают продольные и поперечные волны.
|
|
Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.
Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.
Продольные волны распространяются в жидкостях и газах
В твердой среде возникают как продольные, так и поперечные
Фазовая скорость
Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.
(22)
(23)
После дифференцирования, получим:
(24)
или 
(25)
Вывод: скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью и обозначают: 
:
Т.к. 
, отсюда 
(26)
| Дисперсией называется зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн (дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой) |
Групповая скорость
Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами 
и близкими волновыми числами 
:
(27)
Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.
(28)
| - амплитуда группы волн |
Групповая скорость – скорость распространения группы волн, 
Групповая скорость – скорость максимума огибающей группы волн или скорость движения центра волнового пакета.
Из условия 
(29)
получим: 
(30)
(31)
|
|
| - групповая скорость |
Связь групповой и фазовой скорости.
Групповая скорость определяется выражением:
(32)
Определим отдельно выражения для 
и 
:
1) -?
Из выражения 
выразим угловую скорость: 
(33)
Продифференцируем это выражение по k: 
(34)
2) -?
Выражения продифференцируем по 
:
или 
(35)
Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:
(36)
(37)
(38)
| - связь фазовой и групповой скорости |
Из (38) следует, что 
может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака 
.
Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то 
, тогда фазовая и групповая скорости совпадают 
.
Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.
Но 
, а для ограничений нет.
9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста
Зависимость групповой скорости от длины волны 
позволяет определить значение групповой скорости.
Для этого нужно провести касательную к точке с координатами 
и 
. Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.